I-bap. Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler. Klassifikatsiyası hám kanonikalıq túrleri

§1. Ekinshi tártipli eki ǵárezsiz ózgeriwshili dara tuwındılı ifferentsiallıq teńlemelerdiń tipleri hám kanonikalıq kórinisleri

Meyli eki ózgeriwshili ekinshi tártipli dara tuwındılı differentsiallıq teńlemelerdiń klassifikatsiyası hámde olardıń kanonikalıq túri haqqındaǵı máseleni qarastırayıq. Usı maqsette bas aǵzaǵa qarata sızıqlı bolǵan

(1)
teńlemeni qarastırayıq, bul jerde koeffitsientler ulıwma alǵanda hám tiń berilgen funktsiyaları. (1) teńlemede keri almastırıwǵa iye bolǵan sonıńday
(2)
belgilew jasayıq, nátiyjede (1) teńleme jańa hám ózgeriwshilerge qarata ápiwayı kóriniske iye bolsın. Usı maqsette tómendegi tuwındılardı esaplaymız:



(3)
.
Tuwındılardıń bul mánislerin (1) teńlemedegi orınlarına qoyıp
(4)
teńlemeni alamız, bul jerde



al bolsa, ekinshi tártipli tuwındılarǵa ǵárezli emes.
Meyli funktsiyası
(5)
teńlemesiniń dara sheshimi bolsın dep uyǵarayıq. Eger dep alsaq, onda boladı. Demek (2) túrindegi jańa ózgeriwshilerdi tańlaw (5) teńlemeniń sheshimine baylanıslı.
Lemma. Eger funktsiyası (5) teńlemeniń dara sheshimi bolsa, onda
(6)
differentsiallıq teńlemeniń ulıwma integralı boladı hám kerisinshe, eger (6) teńlemeniń ulıwma integralı bolsa, funktsiyası (5) teńlemeniń dara sheshimi boladı. (6) eńleme (1) teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi dep, al xarakteristikalıq teńlemeniń integrallıq iymeklikleri bolsa (1) teńlemeniń xarakteristikaları dep ataladı.
1.1. Giperbolalıq tiptegi teńlemeler. Eger (6) teńlemeniń ulıwma integralı bolsa hám dep tańlap alsaq, (4) teńlemedegi dıń koeffitsienti di nolge aylandırǵan bolamız. Sonıńday, eger (6) teńlemeniń ǵa baylanıslı bolmaǵan basqa ulıwma integralı bolsa hám dep alsaq, (4) teńlemede boladı.
Bizge belgili, (6) teńleme tómendegi eki
, (7)
teńlemege ajıraladı, bul jerde . Koren belgisi astındaǵı
nıń belgisi (1) teńlemeniń tipin anıqlaydı, yaǵnıy (1) teńleme
ushın tochkada giperbolalıq tipke jatadı dep aytıladı.
Giperbolalıq tiptegi teńlemelerde bolǵanı ushın (7) teńlemelerdiń oń tárepleri haqıyqıy hám hár qıylı bolıp, olardıń ulıwma integralları hám haqıyqıy hám hár qıylı xarakteristikalar toparın anıqlaydı. Onda almastırıwdan soń (4) den

teńlemeni alamız, bul jerde . Bul giperbolalıq tipdegi teńlemelerdiń kanonikalıq túri bolıp tabıladı.