I-bap. Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler. Klassifikatsiyası hám kanonikalıq túrleri

§2. Kóp ǵárezsiz ózgeriwshili ekinshi tártipli dara tuwındılı sızıqlı differentsiallıq teńlemelerdiń klassifikatsiyası


2.1. Kóp ǵárezsiz ózgeriwshili differentsiallıq teńlemelerdiń tipleri hám kanonikalıq kórinisleri. Matematikalıq fizika teńlemeleri menen tanısıwdıń dáslepki etapları ekinshi tártipli sızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemelerdi úyreniw, bunday teńlemelerdi kanonikalıq kóriniske hám múmkin bolǵanınsha ápiwayı kóriniske keltiriw jolları menen tanısqan maqul boladı.
Haqıyqıy koeffitsientli ekinshi tártipli kvazisızıqlı
(1)
kórinistegi dara tuwındılı differentsiallıq teńleme kanonikalıq kóriniste boladı, egerde teńlemeniń koeffitsientleri ushın

orınlı bolsa. Kanonikalıq kóriniste jazılǵan teńlemeler tómendegi múmkin bolǵan tiplerdiń birine jatadı:
1. Giperbolalıq tip:
Bul jerde ekinshi tártipli tuwındılar teńlemege hár qıylı belgiler menen kiredi hám olardıń ulıwma sanı burınǵı ge teń boladı.
2. Parabolalıq tip:
Bul jaǵdayda ekinshi tártipli tuwındılardıń bazı bir bólegi teńlemede qatnaspaydı.
3. Elliptikalıq tip:
Bul jaǵdayda sandaǵı ekinshi tártipli tuwındılar teńlemege tolıq qatnasadı.
Ǵárezsiz ózgeriwshilerdi túrindegi belgilew arqalı erikli koeffitsientli (1) túrindegi teńlemeni erikli tochkada kanonikalıq kóriniske keltiriwge boladı, bul jerde

(1) degi tuwındılardı jańa funktsiyasınan jańa ózgeriwshiler boyınsha alınǵan tuwındılar menen ańlatıp, túrlendirilgen

teńlemege iye bolamız. Jańa koeffitsientler burınǵı koeffitsientler arqalı
(2)
formulası menen ańlatıladı.
Teńlemeniń koeffitsientlerin túrlendiriw nızamı, sızıqlı algebradan belgili bolǵan ózgeriwshilerdi sızıqlı almastırıw arqalı kvadratlıq formanıń koeffitsientlerin túrlendiriw nızamı menen birdey boladı. Haqıyqatında da, eger

kvadratlıq forması hám burınǵı ózgeriwshilerdi jańa ózgeriwshilerge ótkeretuǵın ayrıqsha bolmaǵan

sızıqlı túrlendiriw berilgen bolsa, onda jańa kvadratlıq forma

kóriniske iye boladı, bul jerde
.
Bunı (2) menen salıstırsaq

boladı.
Sızıqlı algebradan málim, kvadratlıq formanı kanonikalıq kóriniske alıp keliwshi sızıqlı túrlendiriwdi Lagranj metodı menen yamasa tolıq kvadratqa alıp keliw usılı menen, sonday-aq matritsanı úshmúyeshlik kóriniske alıp keliwshi Yakobi usıllarınıń biri menen hámme waqıt tabıwǵa boladı.