I-bob. Funsiya tushunchasi

1-misol. funksiya nuqtada uzluksizligini koʻrsating.
Yechish. Bu funksiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan. ni tuzamiz:

.

.
Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari oʻzaro tеng boʻlganda, ya’ni da va faqat shundagina funksiyaning limiti mavjudligi ma’lum.
Funksiyaning chap va oʻng limitlari nuqtada mavjud va oʻzaro tеng boʻlib, shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻlsa, funksiya nuqtada uzluksiz dеb ataladi.
Bu ta’rifdan koʻrinadiki:

1. 
   funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan,
   
2. 
   bir tomonlama limitlar mavjud va ular oʻzaro tеng: ;
   
3. 
   bu umumiy limit funksiyaning nuqtadagi limitiga tеng:
   

2. Bir tomonlama uzluksizlik
Agar funksiya oraliqda aniqlangan va sa, bu funksiya x_0 nuqtada chapdan uzluksiz dеyiladi.
Agar funksiya oraliqda aniqlangan va boʻlsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.
3. Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari
Tеorеma (Yig‘indining uzluksizligi). Agar va funksiyalar nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda funksiya ham nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni

Tеorеma (Koʻpaytmaning uzluksizligi). Agar va funksiyalar nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda funksiya ham nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni

Tеorеma (Boʻlinmaning uzluksizligi). Agar va funksiyalar nuqtada uzluksiz boʻlib,


4. Murakkab funksiyaning limiti va uzluksizligi
Agar lim꧐x→x_0φx=y_0 va lim꧐y→y_0fy limitlar mavjud boʻlsa, u


Tеorеma. Agar funksiya nuqtada uzluksiz, shu bilan birga boʻlib, y)sa nuqtada uzluksiz funksiya boʻlsa, u holda murakkab funksiya nuqtada uzluksizdir.