I bob. Umumiy tushunchalar

1
- §. To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari

I BOB. UMUMIY TUSHUNCHALAR
Ushbu bobda to‘plamlar nazariyasining paydo bo‘lishi haqidagi ayrim tarixiy ma’lumotlar, to‘plamlarning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar, to‘plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, to‘ldiruvchi to‘plam, to‘plamlar algebrasining asosiy qonunlari, kortej haqida tushuncha, Dekart ko‘paytmasi va u bilan bog‘liq ba’zi amallar bayon etiladi.

1- §. To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari
To‘plam, to‘plamning elementlari, chekli to‘plam, cheksiz to‘plam, to‘plamlarning tengligi, qism to‘plam, xos qism to‘plam, refleksivlik, bo‘sh to‘plam, to‘plamning quvvati, paradoks, aksioma, aksiomatik nazariya, tanlash aksiomasi, hajmiylik aksiomasi, bo‘sh to‘plam aksiomasi, juftlik aksiomasi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi, tartiblanmagan juftlik, tranzitivlik, o‘zaro ekvivalent tasdiqlar.
1.1. To‘plamlar nazariyasining paydo bo‘lishi. Matematikada, shu jumladan, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to‘plamlar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar to‘plami, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar to‘plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar to‘plami, natural sonlar to‘plami, koinotdagi yulduzlar to‘plami, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo.

To‘plamlar nazariyasiga fan sifatida XIX asrning oxirida matematikani standartlashtirish bo‘yicha o‘z dasturini taklif etgan Kantor¹ tomonidan asos solingan deb hisoblansada, to‘plamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano² shug‘ullangan.

Kantor fikricha, istalgan matematik ob’yekt (shu jumladan, to‘plamning o‘zi ham) qandaydir to‘plamga tegishli bo‘lishi shart. Berilgan xossaga ega bo‘lgan barcha ob’yektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to‘plam deb tushungan edi. Umuman olganda, to‘plam tushunchasiga qat’iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab bo‘lmaydi. Masalan, to‘plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to‘plam so‘ziga sinonim bo‘lgan “majmua” so‘zidan foydalangan.

Umuman olganda, to‘plam so‘zining lug‘aviy ma’nosiga ko‘ra, uni tashkil etuvchilarni bir joyga to‘plash (yig‘ish, jamlash) tushunilsada, matematikada to‘plam deganda bunday yig‘ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilarni birgalikda to‘plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir umumiy xossaning (belgining) mavjudligi yetarlidir.

To‘plamni tashkil etuvchilar shu to‘plamning elementlari deb ataladi. To‘plamlar nazariyasida to‘plamning elementlari bir-biridan farqli deb hisoblanadi, ya’ni muayyan bir to‘plamning elementlari takrorlanmaydi.

To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa, cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz.

To‘plamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qo‘llaniladi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, to‘plamning elementlardan tuzilganligini