I. O’quv materiallari

7. Fazoviy portret va alohida nuqtalar
Yuqorida tasvirlangan dx /dt = f(x) shaklidagi 1-tartib differensial tenglamalar, ko’pgina biologik jarayonlarni tasvirlashga qodir bo’lsada, ularning moloton yechimlari davriy jarayonlarni tasvirlay olmaydi. Shuning uchun biologik jarayonlar kinetikasida, 1-tartib ikkita differensial tenglamalar vositasida tasvirlanadigan modellar keng qo’llaniladi. Masalan, ikki differensial tenglamadan iborat "yirtqich-ov" modelidagi o’zgaruvchilar (x,u) jufti sistemaning ma’lum bir holatini tasvirlaydi. Koordinata o’qlaridan hosil bo’lgan o’zgaruvchi x, u kattaliklari tushiriladigan tekislikni ko’zdan kechiramiz. Mazkur tekislikdagi, koordinatasi x, u bilan belgilanadigan har qanday M nuqta, sistemaning muayyan bir holatini aks ettiradi. Fazo tekisligidagi nuqta, fazoviy trayektoriya bo’ylab, fazoviy tezlik bilan harakatlanadi. Mazkur tezlik esa, fazoviy trayektoriyaning (integ­ran chiziqli ng) muayyan bir nuqtasi orqali o’tkazilgan urilmaning og’ish burchagi dy/dx ga teng.
Faza tekisligidagi M(x,u) tip nuqtalarning o’zaro ulangan ta’minotsidan fazoviy trayektoriya shakllanadi. O’z navbatida faza tekisligidagi barcha fazoviy trayektoriyalar ta’minotsidan sistemaning fazoviy portreti hosil bo’ladi. Sistemaning "portreti" esa, dastlabki shartlarga bog’liq holda yuz beradigan o’zgarishlarni payqashga imkon beradi. Ko’p hollarda, tipidagi tenglamalar sistemasining analitik yechimlaridan voz ke­chib, ularning faqat ko’rinishi bo’yicha fazoviy portretlar tuzish mum­kin bo’ladi. Bunday hollarda ikkinchi o’zgaruvchilar bilan ish ko’rila­di. Shunday qilib, ikki differensial tenglamadan iborat model
dx / dt = P(x,y)
dy / dt = Q(x,y)
ko’rinishiga ega bo’lib, bu yerda P(x,y), Q(x,y) - evknid tekisligining ba’zi bir S sohasidagi uzluksiz funksiyalardir. Mazkur S soha cheklangan va cheklanmagan bo’lishi mumkin. Agarda x va u biologik ma’noga ega bo’lsa, (masalan, modda konsentratsiyasi, turlar soni), ularga ma’lum cheklanishlar qo`yiladi, ya’ni ular manfiy bo’la olmay­di, individlar soni kasr tarzida ifodalanmaydi va h.k. Bunday mo­dellarga Vonterra-Notka modeli misol bo’lib u "yirtqich va ov"dan iborat ikki tur sonlarining o’zaro ta’sirini tasvirlaydi.
dx/dt = K₁x - K₂xu
du/dt = K₂xu - K₃u
Bu yerda, K₁ - ovning urchish tezlik konstantasi, K₂- yirtqich bilan ovning uchrashish tezlik konstantasi, K₃- yirtqichning o’lish tezlik konstantasi, ov soni x>0 va yirtqichlar soni y>0 . Demak, integral chiziq S_y - o’ng tomon yarim o’qning musbat kvadrati sohasidan joyla­shadi. Barcha fazoviy egri chiziqlar, statsionar holat nuqtalariga mos va barqarorlik bilan farqlanuvchi qator alohida nuqtalarga ega bo’lib, sistema alohida nuqtadan uzoqda ular noma’lumligicha qola­veradi.
Puankare ularning quyidagi klassifikasiyasini taklif etdi.
Sistema vaqt e’tibori bilan kamayuvchi eksponenti tarzida alohi­da nuqtaga qaytib keladi (barqaror turg’un) sistema eksponenta bo’ylab alohida nuqtadan uzoqlashadi (beqaror turg’un).
Beqaror alohida nuqta - egar. Bu nuqtadan faqat ikkita integ­ral chiziq o’tib, qolgan trayektoriyalar uni yonlab o’tib cheksizlikka intiladi.
Spiral shakldagi fazoviy trayektoriya "o’raladigan" alohida nuqta (barqaror fokus). Bunday nuqta so’nuvchi tebranishlarga xos.
Yoyiluvchi spiral shaklidagi fazoviy trayektoriya boshlanadigan nuqta (beqaror fokus. Bunday nuqta amplitudasi osha boradigan tebranishlarga mos keladi.
Sistemada so’nmas tebranishlar mavjud (markaz tip alohida nuqta). Uning fazoviy trayektoriyasi konsentrik ennisdan iborat.
"Yirtqich- ov" modelining fazoviy portreti "markaz" alohida nuqta bilan xarakterlanadi. Umuman, mazkur alohida nuqta beqaror hisoblanadi. Chunki dastlabki shartlarning uncha katta bo’l­magan o’zgarishi, sistemani yangi berk trayektoriyaga olib chiqadi yo bo’lmasa barqaror yoki beqaror fokus holatiga o’tkazadi.