I –Өзбетинше жумыс

Матрица түсиниги
Мейли бизге

a11, a12,...a1n,a21,a22,...a2n,...,am1,am2,...amn , m,nÎ N (1)санлары берилген болсын. Бул санлардан дузилген
а11 а12 ...а1n
а21 а22 ...а2n
......................
аm1 аm2 ...аmn
таблицасы [m´n] – тартипли матрица деп аталады ҳəм
a11 a12 ... a1næça11 a12 ... a1n ö÷ a21 a22 ... a2n ямаса ça21 a22 ... a2n ^÷
.a. . .a. . . ..... . .a.ççç.a. . . a. . . ..... . .a. ÷÷÷ (2)

m1 m2 mnè m1 m2 mn ø
көринисинде белгиленеди. (1) санлары матрицаның элементлери деп аталады.
æ0 0 ... 0ö ç ÷
^{0 =} ç^çç^çè_.00. . _.00........ _. 00. ÷^÷÷÷ø
матрицасы ноллик матрыца деп аталады.
Бази бир жағдайларда əпиуўайылық ушын матрицаларды
^{A =} (a_ij ),(i =1,m; j =1,n) ямаса A= a_ij ,(i =1,m; j =1,n) белгилеринен де пайдайдаланып жазыў мүмкин. Егер n=1 болса, онда бағана матрицаға ҳəм k=1 болса, онда сəйкес қатар матрицаға ийе боламыз:
æça₁₁ ö÷
A = çça21 ÷÷ ҳəм A = (a11,a12, ...,a1n ).
ççèaMk1 ÷÷ø
Қатарлар саны бағаналар санына тең, яғний m = n болса, онда ол
æça11 a12 ... a1n ö÷
^A = ^çça. ²¹. ^a. ²². .^.... ^a. ².^{n ÷÷}÷÷ (3)
ççèa_n1 a_n2 ... a_nn ø
квадрат матрицаға ийе боламыз. (3) квадрат матрыцасының a₁₁, a₂₂,...,a_nn элементлери бас диагонал элементлери делинеди.
Егер (3) матрицасында бас диагоналында турған элементлерден басқа барлық элементлери нолге тең болса, онда
æça₁₁ 0 ... 0 ö÷
^ççç^çè.0⁰ . ^a0.²².....^...a.⁰_nn. ^÷÷÷÷ø (4)
диагонал матрицаға ийе боламыз. Дара жағдайда (4) матрицасында
a11 = a22 = a33 = ... = ann =1
болса, онда
æ1 0 ...0 ö ç ÷
E = ççç^çè.00 . 10........0.1.÷÷÷÷ø
матрыцасы бирлик матрыца деп аталады. (3) квадрат матрыцаның элементлеринен дузилген
a 11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n
. . . . . . . .
an1 an2 ... ann
а нықлаўышы А матрицасының анықлаўшы деп аталады ҳəм det A ямаса A көринисинде белгиленеди.
Е гер А матрыцасының анықлаўшы A = 0 болса, онда А матрыцасы меншикли матрыца, ал кери жағдайда яғний, A ¹ 0 болса, А матрыцасы меншиксиз матрыца деп аталады.
Мейли
æça11 a12 ... a1n ö÷ æçb11 b12 ... b1n ÷ö çça21 a22 ... a2.n ÷ ҳəм B = ççb. 21. b. 22. ..... b. 2.n ÷÷÷÷
A = çè . . . . . . . ÷÷÷ ççbm1 bm2 ... bmn ø çam1 an2 ... amn ø è
матрицалары берилген болсын. Бул матрыцалардың сəйкес элментлери қосындысынан дузилген [m´n]тəртибли
æça11 +b11 a12 + b12 ... a1n + b1n ö÷ ça21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n ÷
^çèçça.m.1 +. .bm. 1. a.m.2 .+b.m.2 .....amn. . +. b. mn ÷^÷ø÷
матрыцасы А ҳəм В матрыцасының қосындысы деп аталады ҳəм А+В көринисинде белгиленеди.
А ҳəм В матрыцасының сəйкес элментлери айырмасынан дузилген
[m´n]тəртибли
æça11 -b11 a12 -b12 ... a1n -b1n ö÷ ça21 -b21 a22 -b22 ... a2n -b2n ÷
^çèçça.m.1 -. .bm. 1. a.m.2 .-b.m.2 .....amn. . -.b.mn ÷^÷ø÷
матрыцасы А ҳəм В матрыцаларының айырмасы деп аталады ҳəм А-В көринисинде белгиленеди.
Жоқарыда айтылғанларға муўапық төмендеги

1. 
   А+0=0+А=А,
   
2. 
   А+В=В+А шəртлердиң орынлы екенин көриў қыйын емес, бунда 0- нолик матрыца.
   

(3) матрыцасының ҳəр бир элементин l санына көбейтириў нəтийжесинде пайда болған
æçla11 la12 ...la1n ö÷ çla21 la22 ...la2n ÷
lA = çççèl.a.m1. l. a. n.2 ..... lamn ÷÷÷ø
матрыцасы l саны менен А матрыцасының көбеймеси деп аталады ҳəм lА деп белгиленеди.
А ҳəм В матрыцалары ҳəм қəлеген l ҳəм m санлары ушын төмендеги теңликлер орынлы.
1. l(mA) = (lm)A, 2. l(A+ B) = lA+lB ,
3.(l+m)A = lA+mA.
Мейли
æça11 a12 ... a1n ö÷ æçb11 b12 ... b1k ÷ö çça21 a22 ... a2n ÷ ҳəм B = ççb. 21. b. 22. ..... b. 2.k ÷÷÷÷
A = çè . . . . . . . . ÷÷÷ ççbn1 bn2 ... bnk ø çam1 am2 ... amn ø è
матрицалары берилген болсын. А матрыцасының i- қатарының элементлери
a_i1, a_i2,. . .a_in элементлерин (i =1,2,...m) сəйкес турде В матрыцасының j бағанасының b_j1, b_j2 ,. . .a _jn ( j =1,2,...k)элементлерине көбейтирип
d_ij = a_i1b_{1 j} + a_i2b_{2 j} +...a_inb_nj , (5)
(i =1,2,...m; j =1,2,...k) қосындыларды пайда етемиз. Бул санлардан дузилген
[m´k]- тартибли
æçd11 d12 ... d1k ö÷ çd21 d22 ... d2k ÷
^çççèd. m.1 .d.m.2 ..... d.mk ^÷÷÷ø
матрыцасы берилген А ҳəм В матрицаларының көбеймеси делинеди ҳəм A× B көринисинде белгинеди.
Демек A× B матрыцасының ҳəр бир элементи (5) көринисиндеги қосындыдан ибарат болады.
А, В, ҳəм С матрицалары берилген болсын. Онда бул матрыцалар ушын төмендеги шəртлер орынлы:

1. 
   (A+ B)×C = A×C + A×C ,
   
2. 
   (A× B)×C = A×(B×C),
   
3. 
   A× B ¹ B× A , 4. A× E = E × A = A.
   

(3) матрицасының қəлеген k қатарын ҳəм қəлеген k бағанасын алып, (k £ min(m,n)) [k ´k] тəртибли квадрат матрыца дуземиз. Бул квадрат матрыцасының анықлаўшы А матрыцасының k - тəртибли миноры деп аталады.
А матрыцасы жəрдеминде пайда етиў мүмкин болған барлық минорлар арасында нолден өзгеше болған ең жоқары (улкен) тəртибли минордың тəртиби А матрыцасының ранги деп аталады ҳəм rankA деп белгиленеди.
Мейли [n´n] тəртибли
æça11 a12 ... a1n ö÷
^A
= çç^çèçaa.n21.1 aa. n22.2 ........ aa. 2nn.n ÷÷^÷ø÷
квадрат матрыца берилген болсын.
Егер А матрицасы менен [n´n] тəртибли В матрыцасының көбеймеси бирлик матрыцаға тең болса, яғний AB = BA = E болса, онда В матрыцасы А матрыцасына кери матрыца деп аталады ҳəм A^-1 көринисинде белгиленеди.
Теорема. Ҳəр қандай А меншиксиз матрыцасының кери матрыцасы бар ҳəм бирден бир болады.
3. Сызықлы теңлемелер системасы
Мейли үш белгисизли
ìа₁х+b₁ у+с₁z = d₁,
^ïía₂ x+b₂ y+c₂ z = d₂ , (6) ^ïîa₃ x+b₃ y+c₃z = d₃
теңлемелер системасы берилген болсын.
x, y, z белгисизлериниң алдындағы коэффициентлеринен дузилген
a1 b1 c1
D=a₂ b₂ c₂ (7)
a3 b3 c3
үшинши тəртипли анықлаўыш (6) системаның бас анықлаўшы деп аталады. (7) анықлаўыштың биринши бағанасын (6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нəтийжесинде биринши жəрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны D_х арқалы белгилеймиз. (7) анықлаўыштың екинши бағанасын
(6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нəтийжесинде екинши жəрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны D_y арқалы белгилеймиз. (7) анықлаўыштың үшинши бағанасын (6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нəтийжесинде үшинши жəрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны D_zарқалы белгилеймиз.
Егер (6) системаның бас анықлаўшы, яғний (7) анықлаўыш, нолден өзгеше болса, онда (6) системасы
D^x ; y = D^y ; z = ^Dz . (8)
x =
D D D
формуласы менен анықланатуғын бирден бир шешимге ийе болады. (8) формула Крамер формуласы деп аталады.
Егер системаның бас анықлаўышы D= 0 болса ҳəм D_х ,D_у ,D_z
анықлаўышлардан кеминде биреўи нолден өзгеше болса, онда (6) системасы шешимге ийе болмайды. Егер D= 0 ҳəм D_x = 0, D_y = 0, D_z = 0болса, онда (6) системасы ямаса шешимге ийе болмайды, ямаса шексиз көп шешимге ийе болады.
(6) системасының коэффициентлеринен, x, y, z белгисизлеринен ҳəмде салтан ағзаларынан
æça₁ b₁ c₁ ö÷ æçxö÷ æçd₁ ö÷
А = ça₂ b₂ c₂ ÷, X = ç y÷ B = çd ₂ ÷ ça3 b3 c3 ÷ø çèz ÷ø çèd3 ÷ø
è
матрицаларын дуземиз . Онда
æça₁ b₁ c₁ ö÷ æçx₁ ö÷ æça₁x + b₁ y + c₁z ö÷
А× X = ça₂ b₂ c₂ ÷×çx₂ ÷ = ça₂ x + b₂ y + c₁z÷ çèa3 b3 c3 ÷ø çèx3 ÷ø çèa3 x + b3 y + c3 z÷ø
A× X = B (9)
теңлиги орынлы.
(9) теңлемеси (6) теңлемелер системасының матрыцалық көринисде жазылыўы болады. Мейли (6) системасының (7) анықлаўышы нолден өзгеше болсын. Онда жоқарыда келтирилген А матрыцасының кери матрыцасы бар болады:
A11 A21 A₃₁
D D D
_A-1 = A12 A22 A₃₂
D D D
A13 A23 A₃₃
D D D
(9) теңликтиң ҳəр еки тəрепин A^-1 матрыцасына көбейтирип, A^-1AX = A^-1B теңлигин табамыз. Егер A^-1 AX = (A^-1 A)X = EX = X болыўын итибарға алсақ, онда матрыцалық көринисде жазылған (4) теңлемесиниң шешими
X = A^-1B (10)
теңлиги арқалы анықланады.

æç A₁₁
ç D
-1 × B = ççç AD12
A
ç A₁₃ çè D
æxö ç ÷
A21 A31 ö÷ æç 1 (b1 A11 + b2 A21 +b3 A31 ) ÷ö æç DDx ö÷÷
A₂₂ ç
D ÷
D DADD³² ÷÷ø÷×æèççddd13₂ ÷÷ø÷ö = ççççç DD11 ((bb1₁ AA₁₂32 ++bb₂2 AA₂₂23 ++bb₃3 AA₃₂33 ))÷÷÷÷÷÷ = çççççç DDDDzy ÷÷÷ø÷÷.
A₂₃ A33 ÷
D ÷ çè D ø è

Егер X = ç y÷ екенин итибарға алсақ онда, (10) теңлигин төмендегише жазыў çèz ÷ø мумкин:
_{æç Dx} ö÷

æçxö çç DDy ÷÷ ÷
ççèzy÷÷ø = ççç DDz ÷÷÷.

çè D ÷øКейинги теңликтен

D^x ; y = D^y ; z = ^Dz .
x =
D D D
болатуғынлығы келип шығады.
n белгисизли сызықлы теңлемелер системасын n ның улкен (n ³ 4) мəнислеринде Крамер усылы менен шешиў бирнеше жоқары тəртибли анықлаўышларды есаплаўды талап етеди. Сол себебтен, бундай системаларды шешиўде Гаусс усылынан пайдаланыў мақсетке муўапық болады. Бул усылда белгисизлер избе из жоғатылып система ушмүйешлик көринисине алып келинеди. Егер система ушмүйешлик көриниске келсе, онда ол бирден бир шешимге ийе болады ҳəм оның белгисизлери аҳырғы теңлемеден баслап табып барылады.
Система шексиз көп шешимге ийе болса, белгисизлер избе из жоғатылғаннан кейин, ол трапеция көринисине келеди.
Мысал:
ìx₁ + x₂ + 5x₃ + 2x₄ =1, ^ïïx₁ + x₂ + 3x₃ + 4x₄ = -3, ^íï2x₁ + 3x₂ +11x₃ + 5x₄ = 2, ïî2x₁ + x₂ + 3x₃ + 2x₄ = -3
сызықлы теңлемелер системасын Гаусс усылы менен шешиң.
Шешилиўы: Берилген системаның екинши, ушинши, төртинши теңлемелеринен x₁ лерди жоғатамыз. Буның ушын системаның биринши теңлемесин избе из -1, - 2, - 2 санларына көбейтемиз ҳəм системаның
сəйкес екинши, ушинши, төртинши теңлемелерине қосамыз. Нəтийжеде,
ìx₁ + x₂ + 5x₃ + 2x₄ =1,
^ïï 2x₃ - 2x₄ = 4, ^íï x₂ + x₃ + x₄ = 0,
ïî - x₂ - 7x₃ - 2x₄ = -5
ямаса
ìx₁ + x₂ + 5x₃ + 2x₄ =1, ^ïï x₂ + x₃ + x₄ = 0, ^íï x₂ + 7x₃ + 2x₄ = 5, ïî x₃ - x₄ = 2
системасына ийе боламыз. Кейинги системада ушинши теңлемеден екинши теңлемени айырамыз.
ìx₁ + x₂ + 5x₃ + 2x₄ =1, ^ïï x₂ + x₃ + x₄ = 0, ^íï 6x₃ + x₄ = 5,
ïî x₃ - x₄ = 2
Буннан төртинши теңлеменсин - 6 ға көбейтирип, ушынши теңлемеге қоссақ ушмүйешли система пайда болады:
ìx₁ + x₂ + 5x₃ + 2x₄ =1, ^ïï x₂ + x₃ + x₄ = 0, ^íï x₃ - x₄ = 2,
ïî 7x₄ = -7
буннан
x₄ = -1,
x₃ = 2 + x₄ =1,
x₂ = -x₃ - x₄ = 0, x₁ =1- x₂ - 5x₃ - 2x₄ = -2
Солай етип x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ =1, x₄ = -1.