I –Өзбетинше жумыс

Trigonometriyalıq funktsiyalardı integrallaw.
I. Meyli f x( ) funktsiya sin x ha’m cosx lar u’stinde arifmetriyalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın.
Ma’selen,
f x( ) = 1 , f x( ) = sin xcosx , _{f x}( ) = sin x + 42 cosx _.
2sin x -cosx +5 sin x + cosx sin x
Bunday funktsiyalardı integrallaw
x (x = 2arctgt)
tg = t
2
orın almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi. Bul orın almastırıw ja’rdeminde sin x, cosx lar t nın’ ratsional funktsiyalarg’a aylanadı:
x x x
2sin ²cos= ² 2=tg ² 2t ₂ ,
sin x =
sin2 + cos2 x 1+ tg2 x 1+t x
2 2 2
² x ² x ² x
cos ² -sin= ² 1-=tg ² _1-t2₂ ,
cosx =
x
sin2 + cos2 x 1+ tg2 x 1+t
2 2 2
dx = d(2arctgt) = ^2t ₂ dt .
1+ t
Mısallar 1. To’mendegi integraldı esaplan’ dx
.
^ò 3sin x + 4cosx +5
Sheshiliwi. Bul integralda
x
tg = t
2
almastırıwın orınlaymız. Onda
sin x = 2t 2 , cos x= 1-t22 , dx= 2 2 dt
1+ t 1+ t 1+t
bolıp, integral
2
^ò 3sin x +dx4cosx +5 ^{= ò}3× 2^t 21++₄t²×dt1-t²2 + ₅ ^=ò ₆t + 4 1( -_tdt²) +5 1( +_t²)
1+t 1+t
= =2ò t2 +dt6t +9 2ò(t + 3)-2d t( + =3) - t +23 + =C -3+2tg x + C .
2
boladı.
2. To’mendegi integraldı esaplan’
ò sindxx . x
Sheshiliwi. Bul integralda da tg = t almastırıwın orınlaymız. Na’tiyjeje
2

2 ò sindxx = ò1+2tt2 dt= ò dtt =ln t +C ln tg= 2x + C
1+t²
bolıwın tabamız.
II. Ayırım jag’daylarda trigonometriyalıq funktsiyalardı integrallaw sin x = t, cosx= t, tgx= t
orın almastırıwları qolaylı boladı.
Mısal. To’mendegi integraldı esaplan’
ò cos16 xdx.
Sheshiliwi. Bul integralda
tgx = t
almastırıwın alamız. Onda

d(tgx) = ^12 dx, cos x	1 dx = dt , cos^2x
1 2=x, 1 = +1 tg	(1+ tg^2=x)^2(1+ t^2)^2

cos² x cos⁴ x
bolıp, integralımız

ò cosdx6 x = ò cos14 x × cosdx2 x = ò(1+t2 )2 dt =
= _ò(1+ 2t² + t⁴)dt = +t 2 ^t3³ + ^t5⁵ +C tg x=+ 3² tg³x + ¹5 tg5x +C
boladı.
III. òsin nxsin mxdx, òcosnxcosmxdx ha’m òsin nxcosmxdx ko‘rinistegi
integrallardı esaplawda to’mendegi
sina bsin = ¹2 é_ëcos(a b- ) - cos(a b+ )ù_û, cosa bcos = ¹2 é_ëcos(a b- ) + cos(a b+ )ù_û, sina bcos = ¹2 é_ësin(a b- ) + sin(a b+ )ùû
formulalarınan paydalanıladı.
Mısal. To’mendegi integraldı esaplan’
òsin nx×sin mxdx. Sheshiliwi. Joqarıdag’ı formuladan paydalanamız:
òsinnx×sinmxdx= _ò ¹₂ éëcos(n - m)- cos(n + m)ûùdx =
= ¹2 é_ëòcos(n - m dx) ^- òcos(n + m dx) ù_û .

1. 
   Meyli n ¹ m bolsın. Onda
   

òcos(n - m dx) = òcos(n - m d) ((n - m x) )× _{n -}¹_m= _{n -}¹_msin(n - m x) + C ,
òcos(n + m dx) = _n +¹_msin(n + m x) +C
bolıp,
òsin nx×sin mxdx= ¹2 ^éëên -¹m sin(n - m x) - n +¹m sin(n + m x) û^ùú +C
boladı.

2. 
   Meyli n = m bolsın. Onda
   

òcos(n - m xdx=) = òdx x +C
òcos(n + m xdx⁾ òcos2= nxdx ò=cos2nxd(2nx)× ₂¹_{n 2}¹_nsin2= nx +C
bolıp,
òsin nx×sinmxdx ¹2=^éêëx - 2¹n sin2nx^ùúû +C
boladı.

İrratsional funktsiyalardı integrallaw

Ko‘pshilik jag’daylarda irratsional ha’m trigonometriyalıq funktsiyalardı integrallaw o‘zgeriwshilerdi almastırıw menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi.
I. Meyli f x( ) funktsiya x ha’m onın’ ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın. Ma’selen,

f x( ) = 1/2 1 1/3 , f x( ) = 3x , f x( ) = x5 . x + x 1+ x 1+ x
Bunday funktsiyalardı integrallaw
x = t^a
almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi, bunda a sanı f x( ) an’latpadag’ı x tın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler bo’limlerinin’ en’
kishi ulıwma eseligi.

Mısallar 1. ^ò(₁₊ 3^dx_x) _x integraldı esaplan’.
Sheshiliwi. Integral astındag’ı funktsiya
1 1
= 1
æ ₃ ö
ç1+ x ÷× x è ø
an’latpasındag’ı x tın’ da’rejeleri ha’m bolıp, bul bo’lshek bo’limleri 2 ha’m
3 lerdin’ en’ kishi ulıwma eseligi 6 g’a ten’. Usı sebepli x = t⁶ almastırıwın alamız. Onda dx = 6t dt⁵ bolıp

ò(1+ 3dxx) x = ò(16+t dt5t2 )t3 = ò(16+t dtt52 )t3 =
= 6ò=1t dt+2 t=2 6ò1 +1t2+-t2t dt2 6èçæòdt - ò1=+dtt2 ÷øö 6(t - arctgt) +C =

= 6(⁶ x -arctg⁶ x)+ C .

2. ^ò( x ₊ 3 _x )_x integraldı esaplan’.
Sheshiliwi. Bul integralda x = t⁶ almastırıwın alamız. Onda
x = t³, ³ x²= t⁴, dx= 6t dt⁵

bolıp, ò( (xx+-13)xdx2 )x = ò 6((tt36 +-t14))t dtt56 6òt4t(61-+1t=)dt 6òt5 -t4 + t3t4-t2 + -t 1=dt
æ t² 1 1 1 ö

= 6ç 2 - +t ln t + t - 2t2 + 3t3 ÷ø + C = è

æö = 6ç÷ +C . èø

2. 
   Meyli f x( ) funktsiya x ha’m ax+b eki ag’zalının’ (a b, – turaqlı sanlar) ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın.
   

Ma’selen,

f x( ) ₌ ¹ , f x( ) = 1- x +1 , f x( ) = 23 x -5 . x x +1 1+ x +1 1+ 2x -5
Bunday funktsiyalardı integrallaw
ax -b = t^a
Almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keledi, bunda a san f x( ) an’latpasındag’ı ax+b lardın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler
bo’limlerinin’ en’ kishi ulıwma eseligi.

Mısal. ^ò(3 _{3x +1-}^dx₁) _{3x +1} integraldı esaplan’.
Sheshiliwi. Bul integralda
3x + =1 t⁶
almastırıwın orınlaymız. Onda
dx = ×6t dt⁵ , ³ 3x +1 = t², 3x +1 = t³
bolıp,

ò( ³ 3x +₁dx-1) 3x +₁ = ²ò(t²t dt-5 1)t³
boladı. Keyingi integraldı esaplaymız:
^ò(_t2t dt-⁵ ₁)_t3 = òt²_t- +2 -1₁=1dt ò1dt + ^ò _t2dt-₁ = -t ₂1 òæçè _t +1₁ - _t -1₁ö÷ødt =
= -t 1çæò d t(t ++11) - =ò d t(t --11)÷øö t - 21ln tt +-11 + C .
2è

Na’tiyjede ^ò(3 3x +1-dx1) 3x +1 = 2æççè ₆ 3x +1 - 12ln ⁶6 33xx ++11+-11 ö÷÷ø +C
boladı.

2. 
   Meyli f x( ) funktsiya x ha’m
   

ax + b
(a b c d, , , – sanlar, ad ¹ bc) cx + d
nın’ ha’r qıylı bo’lshek da’rejeleri u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın. Ma’selen,

f x( ) = 1 1+ x , _{f x}( ) = , f x( ) = 1 1+ x . x x (2 + x) (3- x) 1- x 1- x
Bunday funktsiyalardı integrallaw
ax + b a
= t
cx + d
almastırıwı menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keledi, bunda a sanı _{f x}( ) an’latpasındag’ı ^{ax + b} lardın’ da’rejelerinde qatnasqan bo’lshekler cx + d
bo’limlerinin’ en’ kishi ulıwma eseligi.

1. ^{1+ x}

Mısallar 1. _òdx integraldı esaplan’. _{x x}
Sheshiliwi. Bul integralda
1+ x
= t2
x
almastırıwın orınlaymız. Onda

x = =21 , dx - 22t dt t -1 t -1
bolıp
ò 1 1+ x ( 2 ) -2 2t
dx = ò t -1 × ×t dt x x t -1
boladı. Keyingi integraldı esaplaymız:

ò(t2 -1)× × =t 2 2t dt - =2ò 2t2 dt - =2òt2 - +2 1 1dt -2æçt + =ò t2dt-1øö÷ -
t -1 t -1 t -1 è

= -2çèæt - ¹2ln t^{t -}+¹1 ^ö÷ø +C .
Natijada

ò

1+ x dx = -2 x

1+ x ö -1÷+ C x ø

2
boladı.

^{1+ x}

2. _ò × ^dx integraldı esaplan’.
_{1- x 1- x}
Sheshiliwi. Bul integralda

1+ x
= t
1- x
almastırıwın orınlaymız. Onda