I –Өзбетинше жумыс


Download 437.58 Kb.
bet4/5
Sana10.11.2023
Hajmi437.58 Kb.
#1761797
1   2   3   4   5
Bog'liq
baslanhish

t2 -1 4t


x = 2 , dx = 2 )2 dt
t +1 (t +1
bolıp,

1+ x dx t dt2 ò × = 2ò 2
1- x 1- x t +1
boladı. Bizde
t dt2
= -t arctgt + C
òt2 +1
bolg’anlıqtan,
1+ x dx æ 1+ x 1+ x ö
ò × 2ç = - arctg ÷ + C .
1- x 1- x è 1- x 1- x ø
IV. Meyli f x( ) funktsiya x ha’m ax2 +bx + c (a b c, , – turaqlı sanlar) u’stinde arifmetikalıq a’meller orınlanıwınan payda bolsın.
Ma’selen,

f x( ) = 2 1 , f x( ) = x2 +2 x +1 -1, f x( ) = ( 2 )x 2 . x + 6x + 5 x x + x +1 2x +1 x + 4
Bunday funktsiyalardı integrallawda:

  1. a > 0 bolg’anda

ax2 +bx + c - x a = t
almastırıwı menen,

  1. c > 0 bolg’anda

ax2 +bx + c =xt + c
almastırıwı menen,
s) ax2 +bx + c kvadrat u’shag’zalısı haqıyqıy a ha’m b korenlerge iye bolg’anda
ax2 +bx + c t x=( -a)
almastırıw menen ratsional funktsiyalardı integrallawg’a keltiriledi. dx

Mısallar 1. ò integraldı esaplan’. x2 + 6x + 5
Sheshiliwi. Bul integralda

x2 + 6x + 5 - x = t
almastırıwın orınlaymız (sebebi, a = >1 0).
Onda

x2 + 6x +5 - x = t, x2 + 6x + 5 = x +t , x2 + 6x +5 x= +2 2xt + t2 ,
(6 - 2t x)= t2 - 5,
t2 - 5 x = ,
6 - 2t
æ t2 -5 ö¢ -t2 + 6t -5 2 -t2 + 6t -5

dx = ç 6- 2t ÷ø ×dt= 2 (6- 2t2) dt, x + 6x +5 = 6 - 2t è
bolıp,
dx 6 - 2t -t2 + 6t - 5 2dt
ò 2 = ò 2 × 2 ( =2) dt ò=
x + 6x + 5 -t + 6t - 5 6 - 2t 6 - 2t

= - =ò d(3 -t) -ln 3 - t + C 3 -t
boladı.
Demek,

dx2
= -ln 3+ x - x + 6x + 5 +C .

  1. ò integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bul integralda

-x2 - 3x + 4 =xt + 2
almastırıwın orınlaymız (sebebi, c = >4 0). Onda

-x2 -3x + 4 =xt + 2, - x2 -3x + 4 =x t2 2 + 4xt + 4,
- - =x 3 xt2 + =4t, x - ,
dx = 22t2 +3t -2 2dt, -x2 -3x + =4 - 2t2 +2 3t - 2
(t2 +1) t +1
bolıp,

ò -x2 dx-3x + 4 = òèçæ- 2t2t+2 +3t1- 2ø÷ö×22t(2t2++31t)-2 2 dt =
= - =2ò t2dt+1 -2arctgt + =C -2arctg -x2 -3xx + 4 - 2 + C
boladı.

  1. ò -x2 dx+ 4x - 3 integraldı esaplan’.

Sheshiliwi. Bunda,
-x2 + 4x - 3 (=-x 1)(3 - x).
Demek, -x2 + 4x -3 kvadrat u’shag’zalısı a b= =1, -3 haqıyqıy korengn iye.
Usılardı esapqa alg’an halda berilgen integralda

-x2 + 4x - 3 =(x -1)t
almastırıwın orınlaymız. Onda

-x2 + 4x -3 = (x -1)(3- x) = (x -1)t ,
(x -1)(3- x) =(x -1)2 ×t2, 3- x =(x -1)t2, (t2 +1)x= t2 + 3,
x = t22=+ 3=æçt 3 - x ö÷, dx - 24t dt, -x2 + 4x - 3 = 22t
t +1 è x -1 ø t +1 t +1
bolıp,
ò -x2 dx+ 4x -3 = òt2 t+1× -æçè t=24+t 1ö÷ødt - =ò1+dtt2 -2arctgt + =C -2arctg 3x--1x + C
boladı.

Anıq integral ha’m onı esaplaw usılları


Meyli f x( ) funktsiya [a b, ] segmentte u’zluksiz bolsın. [a b, ] kesindisinen
a = x0 <x1 <x2 <... <xk <xk+1 <... <xn = b
noqatların alıp, ten’dey n bo’lekke bo’lemiz:
Dx0 =x1 - x0, Dx1 =x2 - x1, Dxk =xk+1 - xk,...,Dxn-1= xn - xn-1.
Bulardın’ en’ u’lkenin l menen belgileyik:
l= max{Dxk} (k= 0,1,2,...,n -1).
Ha’r bir [x xk, k+1] den qa’legen xk noqatın (xk Î[x xk, k+1], k= 0,1,2,...,n -1) alıp, funktsiyanın’ usı noqattag’ı ma’nisi f (xk ) tı tabamız.
To’mendegi s x= f ( 0)×Dx0 + f (x1)×Dx1 +...+ f (xk )×Dxk +...+ f (xn-1)×Dxn-1
qosındı f x( ) funktsiyanın’ integral qosındısı delinedi. Onı qısqasha
n-1
å f (xk )×Dxk
k=0
belgileymiz.
Bul integral qosındı l®0 da shekli limitke iye bolsa, onda bul limit f x( ) funktsiyasınan a dan b g’a shekem alıng’an anıq integralı dep ataladı:
b n-1
ò f x dx( ) = liml®0 å f (xk )Dxk ,
a k=0
bunda f x( ) funktsiya [a b, ] da integrallanıwshı, a sanı integraldın’ to’mengi shegarası, b sanı bolsa joqarg’ı shegarası, [a b, ] segmenti integrallaw aralıg‘ı delinedi.

Anıq integraldın’ qa’siyetleri


  1. Turaqlı sandı integral belgisi aldına shıg’arıw mu’mkin:

b b òkf x dx( ) = kò f x dx( ) (k = const).
a a

  1. Qosindinin’ integralı integrallardın’ qosındısına ten’:

b b b òéë f x( ) + g x( )ùûdx =ò f x dx( ) + òg x dx( ) .
a a a

  1. Eger [a b, ] da u’zliksiz bolg’an f x( ) ha’m g x( ) funktsiyalar ushın qa’legen xÎ[a b, ] te

f x( ) £ g x( )
bolsa, onda
b b
ò f x dx( ) £ òg x dx( )
a a
boladı.

  1. Eger f x( ) funktsiya [a b, ] da integrallanıwshı bolsa, funktsiya [ab, ]Ì[a b, ] aralıqtada integrallanıwshı boladı. 5) To’mendegi

b b
ò f x dx( ) £ ò f x dx( )
a a
ten’sizligi orınlı.
6) To’mendegi
òb f x dx( ) = òc f x dx( ) + òb f x dx( )
a a c
ten’lik orınlı boladı.

Anıq integraldı esaplaw


1. Nyuton–Leybnits formulası
Meyli f x( ) funktsiyanın’ da’slepki funktsiyası F(x) bolsın. Onda
Nyuton–Leybnits formulası
òb f x dx( ) = F( )=x baF( )b -F( )a (1)
a
bo‘ladı.
Mısallar. To’mendegi keltirilgen anıq integrallar N'yuton-Leybnits formulası ja’rdeminde esaplanadı:

  1. ò2 x dx9 = x10= -110= 1 (1024-1) =102,3;

    1. 1010 10

  2. ò1 e dx-x = - =e -e-1 - - =( e0 ) - 1 + =1 1- 1 ;

0e e
b

  1. òcosxdx = sin x =basinb -sina;

a

    1. 11p 4) ò 2 dx = arctgx =0arctg1-arctg0 = .

0 1+ x4
2. O‘zgeriwshilerdi almastırıw usılı menen anıq integrallardı esaplaw Ko‘pshilik jag’daylarda
òb f x dx( )
a
integraldı
x =j(t)
almastırıw ja’rdeminde esaplaw qolaylı boladı.
Meyli f x( ) ha’m x =j(t) funktsiyalar to’mendegi sha’rtlerdi orınlasın:

  1. f x( ) funktsiya [a b, ] segmentke u’zliksiz;

  2. x =j(t) funktsiya [ab, ] da u’zliksiz, u’zliksiz j¢(t) tuwındıg’a iye

bolıp, onın’ ma’nisleri [a b, ] nı payda etsin;

  1. ja jb( ) = a, ( ) = b

Onda
b b
ò f x dx( ) = ò f (j j( )t )× ¢( )t dt (2)
a a
boladı.
Mısallar 1. İntegraldı esaplan’
1
òx 1+ x dx2 .
0
Sheshiliwi. Bul integralda
x = t2 -1
almashtırıwın orınlaymız. Onda x = 0 bolg’anda t =1,

x =1 bolg’anda t = 2 ,
dx =t2 -1)¢dt = tdt2

t -1

bolıp, (2) formula boyınsha
boladı.

  1. İntegraldı esaplan’

e dx ò
1 x(1+ ln2 x)
Sheshiliwi. Bul integralda
ln x =t
dep alamız. Onda x =1 bolg’anda t = 0, x = e bolg’anda t =1,
1 dx = dt x
bolıp,
e dx 1 dt1p ò ( 2 ) = ò 2 =arctgt 0=
1 x 1+ ln x 01+t4
boladı.
3.Bo‘leklep integrallaw usılı menen anıq integrallardı esaplaw.
Meyli u = u x( ) ha’m v = v x( ) funktsiyalar [a b, ] segmentte u’zliksiz ha’m u’zliksiz u x¢( ) ha’m v x¢( ) tuwındılarg’a iye bolsın. Onda to’mendegi bo’leklep integrallaw formulasına iye bolamız:
òb u x v x dx( ) ( )¢ = éëu x v x( ) ( )ùû ba- òb v x u x dx( ) ( )¢ . (3)
a a

  1. ten’likti to’mendegishe jazıw mu’mkin:

òb udv = (uv) ba- òb vdu. (3’)
a a
Mısallar 1. İntegraldı esaplan’
2
òxe dxx .
1
Sheshiliwi. Bul integralda
u = x, dv = e dxx
dep alamız. Onda
dv = dx, v= òe dxx = ex

bolıp, (3’) formula boyınsha







2 2
òxe dxx = x e× x2 - òe dx=x
1 1 1
boladı.
2. İntegraldı esaplan’

x e× x2 -ex=2
11

2e2 - e -(e2 - e) = e2

1
òarctgxdx.
0
Sheshiliwi. Bul integralda
u = arctg ,x dv = dx
dep alıp,
du = dx, v = x
bolıwın tabamız. Onda (3’) formula boyınsha
1 1 1 xdx p 1 1 d(1+ x2) p
òarctgxdx = x×arctgx0 - ò = 2 - ò= 2 -ln 2
0 01+ x 4 2 0 1+ x 4
boladı

Download 437.58 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling