I –Өзбетинше жумыс

Bo’lshek-ratsional funktsiyalardı integrallaw
1. A’piwayı bo’lshekler ha’m olardı integrallaw.
A A Bx +C Bx +C
, ⁿ , ² , 2 )
x - a (x - a) x + px + q (x + px + ^{q n}
funktsiyalar a’piwayı bo’lshekler delinedi, bunda A B C a p q, , , , , – turaqlı sanlar, n – natural san ha’m p² - 4q < 0. Bul funktsiyalardın’ integralların esaplaymız.

ò A dx = Aò=d x( - a) A×ln x - a +C , x - a x - a

ò A n dx = Aò(x - a)-n d x( - a) A=× (x- +-na)- +1n 1 +C 1-=An × (x -1a)n-1 +C (n ¹1 .)
(x - a)
Endi
J ⁼ ò 2Bx +C dx x + px + q
integralın esaplaymız. Integral astındag’ı x² + px + q kvadrat u’shag’zalısın to’mendegishe jazıp alamız:
x2 = px + q x=+2 2 2p x + p42 + q - p42 =èçæ x + 2p ö÷ø2 + a2 ,
bunda a² = q - ^p2 > 0. Natiyjede
4
J ⁼ _ò Bx +2C dx

æçè x + 2p ö÷ø + a2
boladı. Bul integralda
x = -t ^p
2
almastırıwın orınlaymız. Onda
B tçæ - ^{p ö}÷ +C
J = ò è t2 +2aø2 dt
boladı. Keyingi integral to’mendegishe esaplanadı:

_ò ^{B tç}æè t^-2 +2paö^÷ø2^{+ C} dt = Bò t2tdt+ a2 +èçæC - 2p Bø÷ö^òt2 dt+ a2 =

= Bò d t2((t22 ++aa22)) +çèæC - 2p Bø÷ö× 1a arctg= at B × 12ln(t2 + a2 )+ +çè^æC - 2^p B÷ø^ö× ¹a arctg a^t +C = ^B2 ln(x² + px + q) +
+^æçèC - 2^p B^ö÷ø 4q -⁴ p2 ×arctg x + +C .
Demek,

ò x2Bx+ px+C+ q dx = B2 ln(x2 + px + q)+
+2çè^æC - 2^p B^ö÷ø 4q¹- p2 ×arctg ²4^xq⁺- ^pp2 +C (1)
boladı.
Endi
n 2 Bx +C n (n >1)
J = ò(x + px + q) dx
integralın esaplaymız. Bul integraldı esaplawda joqarıdag’ı belgilewdey orınalmastırıwdı a’melge asıramız.
Natiyjede
Jn = B^ò(t2 ₊tdt_a2)n +ç_èæC - Bp₂ ÷_øö^ò(_t2 ₊dt_a2)=n B₂ ò d t(_t⁽2 ₊² +_a2a)²n⁾ +
+æçèC - Bp₂ =ö÷_ø^ò(_t2 ₊dt_a2)n B_{2 1}× _-1_n × (_t2 ₊1_a2)n-1 + æç_èC - Bp₂ ö÷_ø^ò(_t2 ₊dt_a2)n
boladı, bunda

ò(t2 +dta2)n
integral rekkurrent formuladan tabıladı.

Ma’selen, ^ò x2^x+⁺x¹+1dx = ¹2 ln(x² + x +1)+ ¹3 arctg ^{2x +1} +C

boladı.
2. Durıs bo’lsheklerdi a’piwayı bo’lsheklerge jayıw Meyli,

16. 
    x( )
    
17. 
    x( )
    

bo’lshek ratsional funktsiya-durıs bo’lshek berilgen bolsın, bunda P x( ) ha’m Q x( ) lar ko‘p ag’zalılar bolıb, P x( ) ko‘p ag’zalının’ da’rejesi Q x( ) ko‘pag’zalının’ da’rejesinen kishi. Meyli, bul durıs bo’lshektin’ bo’limi Q x( ) ko‘pag’zalısı to’mendegishe
Q x( ) (= x - a) (ⁿ × x -b)^m ×...×(x² + px + q)^r ×(x² + px% + q%)^s
an’latılsın, bunda a b, ,..., , , ,p q p q% % – haqıyqıy sanlar, n m, ,..., ,r s – natural sanlar.
Onda

^{Q x}P x(( )) = (x -Ana)n + (x -Ana-1)n-1 + ...+ xA-1a + (x -Bmb)m + (x -Bmb-)1m-1 + ...+ xB-1b +

+...+ (x2C x+r px+ D+rq)r + (xC2 r+-1xpx++Dqr-)1r-1 +... + xC x2 +1 px+ D+1q + (2)

+ (x2E x+_s px%+ +F_sq%)r + (xE2 +_s-1pxx% ++Fq_s%_-)₁r-1 + ...+ x2E x_{+1 px}%+ F_+1q%
boladı, bunda A₁,..., A B_n, ₁,...,B C D_m, _r, _r,..., C D E F₁, ₁, _s, _s,..., E F₁, ₁ – turaqlı sanlar.
(2) ten’lik durıs bo’lshekti a’piwayı bo’lsheklerge jayılıwın an’latadı.
(2) ten’liktin’ on’ ta’repindegi turaqlı sanlar to’mendegishe tabıladı:

1. 
   (2) ten’likti ha’r eki ta’repi Q x( ) qa ko‘beytiriledi. Natiyjede bo’limnen qutılıp
   

P x( ) = R x( )
ten’likke kelinedi,

2. 
   bul ten’likning ha’r eki ta’repindegi x tin’ birdey da’rejeleri aldındag’ı koeffitsiyentler ten’lestiriledi. Natiyjede turaqlı sanlardı tabıw ushın ten’lemeler sisteması payda boladı,
   
3. 
   ten’lemeler sisteması sheshilip, izlenip atırg’an turaqlı sanlar tabıladı.
   

Mısallar 1.
5-7x

x³ - 2x² - x + 2
bo’lshek a’piwayı bo’lsheklerge jayılsın.
Sheshiliwi. Da’slep berilgen bo’lshektin’ bo’limi ko‘beytiwshilerge ajıratamız: x³ - 2x² - x + 2 x=²(x - 2) -(x - 2) (=x² -1)(x - 2) (= -x 1)(x +1)(x - 2).
Keyin (2) qatnastan paydalanıp, berilgen bo’lshekti to’mendegi
5- 7x 5- 7x A B C
x³ - 2x² - x + 2 = (x -1⁼)(x +1)(x - 2) x -1 ⁺ x +1⁺ x - 2
ko‘riniste jazamız. Bul ten’liktin’ ha’r eki ta’repin (x -1)(x +1)(x - 2) ge ko‘beytemiz:
5- 7x =A x( +1)(x - 2)+ B x( -1)(x - 2) +C x( -1)(x +1)
= (A+ B +C x) ² -(A + 3B x) - 2A+ 2B -C .
x tin’ birdey da’rejeleri aldındag’ı koeffitsientlerin ten’lestirip na’tiyjede
A+ + =B C 0,
A+ =3B 7,
- + - =2A 2B C 5
ten’lemeler sisteması payda boladı. Onı sheship, to’mendegini tabamız:
A = = =1, B 2, C -3.
Natiyjede
5- 7x 1 2 3
^{3 2} = + -
x - 2x - x + 2 x -1 x +1 x - 2
boladı.
2.
x² +1

x3 - x2
bo’lshek a’piwayı bo’lsheklerge jayılsın.
Sheshiliwi.
x² +1 x² +1

3 2 = 2 . x - x x (x -1)
(2) ten’lik boyınsha
x² +1 A B C

x2 (x -1) = x + x2 + x -1
bo‘ladi. Keyingi ten’likten
x² +1 =A x( ² - x)+ B x( -1) +Cx²
ha’m
ì A+C =1,
^ïí-A+ B = 0, ^ïî - =B -1
bolıwı kelip shıg’adı. Bul sistemanı sheship
A = -1, B = -1, C = 2
ha’mde
x² +1 1 1 2

x2 (x -1) = - x - x2 + x -1
bolıwın tabamız.
x² + 2x -1
3. ( ₂ ) bo’lshek a’piwayı bo’lsheklerge jayılsın.
(x -1) x +1
Sheshiliwi. (2) qatnas boyınsha
x² + 2x -1 A Bx + C

(x -1)(x² +1) ⁼ x -1 ⁺ x² +1
boladı. Bul ten’likten
x² + 2x -1 A x(= +² 1)+ (Bx +C)(x -1) (A=+ B x) ² +(C - B x) + A -C
ha’m
A+ =B 1,
C - =B 2,
A-= -C 1
bolıwın tabamız. Sistemanın’ sheshimi A =1, B =0, C =2 bolıp,
x² + 2x -1 1 2

(x -1)(x² +1) ⁼ x -1 ⁺ x² +1
boladı.
4.

bo’lshek a’piwayı bo’lsheklerge jayılsın.
Sheshiliwi. (2) ten’likten paydalanamız:
3x² +1 A Bx +C Dx + E
( ² )² = + ² + ² )² .
(x +1) x +1 x +1 x +1 (x +1
Keyingi ten’likte bo’limnen qutılıp, x tin’ birdey da’rejeleri aldındag’ı koeffitsientlerdi ten’lep to’mendegi
A+ =D 0,
E + =D 0,
2A+ + =B E 3,
B + + + =C E D 0,
A+ + =C E 1
sistemag’a kelemiz. Onı sheshemiz
A =1, B =1, C = -1, D = -1, E =1.
Demek,
3x² +1 1 x -1 - +x 1
( ² )² = + ² + ² )² .
(x +1) x +1 x +1 x +1 (x +1

3. Ratsional funktsiyalardı integrallaw. f x( ) = Q xP x⁽( ))
ratsional funktsiyani qaraymız, bunda P x( ) ha’m Q x( ) – ko‘pag’zalılar.
Eger

16. 
    x( )
    
17. 
    x( )
    

da alımındag’ı ko’pag’zalının’ da’rejesi bo’limindegi ko’pag’zalının’ da’rejesinen u’lken bolsa, onın’ alımın bo’limine bo’lip, pu’tin ratsional funktsiya ha’mde durıs bo’lshekler ko’rinisinde to’mendegishe an’latıladı:

Q xP x(( )⁾ = R x( ) + Q xP x₁( )( ⁾ .
Onda
òQ xP x(( )) dx = òR x dx( ) + ò Q xP x1( )( )dx
boladı, bunda òR x dx( ) – pu’tin ratsional funktsiyanın’ integralı sıpatında an’sat esaplanıladı, ò dx – durıs bo’lshektin’ integralı, integral astındag’ı durıs
bo’lshekti a’piwayı bo’lsheklerge jayıp esaplanıladı.
Mısallar. 1.
ò x3 +3x42x+2 +8 4xdx
integralın esaplan’.
Sheshiliwi. Integral astındag’ı durıs bo’lshekti a’piwayı bo’lsheklerge jayamız:
x³ + 4x² + 4x= x x( ² + 4x + 4)= x×(x + 2)²,
3x² + 8 3x² + 8 A B C

3. 
   2 = = 2 + + 2 , x + 4x + 4x x x( + 2) x x + 2 (x + 2)
   

3x² + 8 (= +A B x) ² +(4A+ 2B +C x) + 4A, ìA+ B = 3, í^ï4A+ 2B +C = 0, ^ïî4A =8
A = = =2, B 1, C -10,
3x² + 8 2 1 10

^{3 2} = + - ^{2 .} x + 4x + 4x x x + 2 (x + 2)

Na’tiyjede ò x3 +3x42x+2 +8 4xdx = òççèæ 2x + x +1 2 - (x10+ 2)2 ÷ø÷ödx= 2ò dxx + ò d x(x ++22) -
-10ò(x + 2)^-2 d x( + 2) 2=ln x + ln x + 2 + _x¹⁰+ ₂ + C ln=(x x² + 2 )+ _x¹⁰+ ₂ + C
boladı.
2.
_ò x³ + 4xx4²+-x2x +1dx
integralın esaplan’.
Sheshiliwi. Integral astındag’ı durıs bo’lshekti a’piwayı bo’lsheklerge jayamız:
x³ + 4x² - 2x +1 x³ + 4x² - 2x +1 A B Cx + D

3. 
   = = ( 2 ) + + 2 , x + x x x( +1) x - x +1 x x +1 x - x +1
   

x³ + 4x² - 2x +1 =A x( ³ +1) + Bx x( ² - x +1) + (Cx + D)(x² + x)=
= (A+ B +C x) ³ + (C + D + B x) ² +(B + D x) + A,
A+ + =B C 1,
C + - =D B 4,
B += -D 2,
A =1,
Bul sistemanı sheship
A =1, B = -2, C = 2, D= 0,
x³ + 4x² - 2x +1 1 2 2x

4 = - + 2 . x + x x x +1 x - x +1

Na’tiyjede ò x3 + 4xx42+-x2x +1dx = ò dxx - 2ò d x(x ++11) + 2ò=x2 -xdxx +1 ln | x| 2ln |- x +1| +

+2éêë 12ln(x2 - x +1) + 23 arctg 2x -1ûùú +C

boladı, bunda
^ò x2 -xdxx +1
integraldı esaplaw ushın (1) qatnasınan paydalanıladı.