I –Өзбетинше жумыс

ТЕГИСЛИКТЕГИ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТЛЕРИ
Туўры мүйешли Декарт координаталар системасы
Туўрыдағы Декарт координаталар системасы (n=1 өлшемли кеңислик E^х). Қәлеген туўры сызықта басланғыш О нақати, «®« белгиси менен оң бағит хәм узинлиқ бирлиги (масштаб) таңлап алынади. Пайда етилген бир өлшемли координаталар системасы менен хақыйқый санлар көплиги арасында бир мәнисли сәйкеслик орнатыў мүмкин. Қәлеген бир М ноқатының туўрыдағи орнына сәйкес келиўши x саны (1-сүўрет) оның координатаси деп аталады хәм M(x) түринде белгиленеди.
M x
О 1 x
1-сүўрет.
Еки A(x1) хәм B(x2) ноқатлары арасындағы d аралық
d = x2 — xj = 7(x2 - xi )2 .
Көшердеги (алгебралық) бағытланған кесиндиниң шамасы AB = x₂ - x₁ , бунда A (x1) хэм B (x2).
Тегисликтеги Декарт координаталар системасы (n=2 өлшемли кеңислик E2). Тегисликтеги қәлеген О ноқаты (бул ноқат координата басы деп аталады) арқалы өз-ара перпендикуляр еки көшер Ох (абсцисса) хэм Оу (ордината) өткизиледи хэм бул көшерлерде теңдей масштаб бирлиги таңлап алынады. Ох хэм Оу көшерлери жайласқан тегислик Оху координаталар тегислиги деп аталады.
Тегисликтеги ноқаттың координаталары деп ноқаттың усы тегисликтеги орнын анықлайтуғын санлар жубына (2 сүўрет) айтылады: М(х; у).
II



III

IV
2-сүЎрет


3-сүўрет
Тегисликти координата көшерлери төрт шерекке (3-сүўрет) бөледи. Ноқаттың шереклердеги координаталарының белгилери:

	I	II	III	IV
X	+	-	-	+
у	+	+	-	-

Тегисликтеги еки А(х1;y 1) хәм B(x2;y2) ноқатларының арасындағы д аралық
d = y/(x2 -x1 )2 +⁽y2 -y 1 )².
Ушлары A(x1, y 1) хэм B(x2, y2) ноқатларында болған кесиндини берилген l қатнаста бөлиў, яғный AN : NB = l теңлигин қанаатландыратуғын АВ кесиндисиниң N (x, y) точкасы координаталарын
x1 + lx 2 y 1 + ly _г
x — , y —
1+l 1+l





















кесиндисиниң

x₁ + x₂
x — ——2, y —
2

y₁ + y₂

Төбелери A₁(x₁,y₁), A₂(x₂,y₂), A₃(x₃,y₃),

2
... , A_n (x_n , y _n )

ноқатларында

1 x1 y1
болған дүңки көпмүйешликтиң майданы S — —
² x 2 ^y 2

x₂ y₂
x 3 У 3

+...+

xn
^x1

Төбелери A₁(x₁,y₁), A₂(x₂,y₂), A₃(x₃,y₃) ноқатларында

yn .
У 1 J
болған

үшмүйешликтиң майданы S — ±^

x1 y1 1
x2 y2 1
x₃ y₃ 1

формуласы бойынша табылады.

Үш A₁ (x₁ ,y₁ ), A₂(x₂ ,y₂ ), A₃ (x₃ ,y₃ ) болыў шәрти

ноқатларының бир туўрыға тийисли

x₁
x₂
x₃

y₁
y₂
y₃

=0.
формуласы бойынша табиў мүмкин. Дара жағдайда, АВ ортасиниң координаталары
Кеңисликтеги Декарт координаталар системасы (n=3 өлшемли кеңислик E3). Бир О ноқатында кесилисетуғын хәм бирдей масштаб бирлигине ийе болған үш өз-ара пeрпeндикуляр Ох, Оу хәм Oz көшeрлeри кеңисликте туўры мүйeшли Охуz Дeкарт координаталар систeмасын аниқлайди. Бунда Ox - абсцисса, Оу - ордината хэм Oz - аппликата көшери деп аталады. Координаталары менен кеңисликтеги ноқат М(x;y;z) түринде жазылады.
Кeңисликти Оху, Oxz, Oуz координата тeгисликлeри сeгиз октантқа бөледи. Ноқаттың октанталардағи координаталарының белгилери:

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
X	+	-	-	+	+	-	-	+
У	+	+	-	-	+	+	-	-
З	+	+	+	+	-	-	-	-

n-өлшемли Декарт координаталар системасы (Е^п). Қәлеген М ноқатын координаталары менен M (x1, x 2,..., x_n) түринде жазиў мүмкин. Еки A(a1,a2,...,an) хәм B(b1,b2,...,bn) ноқатларының арасындағы d аралық
d = -\l^(b1 — al У + ^(b2 — a2 У + ... + ^(bn — an ⁾² формуласы бойынша есапланади.
Поляр координаталар системасы. Мейли тегисликте О ноқат - полюс хэм ОР нури - поляр көшер берилген болсин. Онда тегисликтеги ноқаттиң хали поляр мүйеш j =< MOP хэм радиус-вектор r = OM арқалы бир мәнисли аниқланады.
Егер О полюсти Декарт координаталар системасыниң басы менен, ал ОР поляр көшерди Ох көшериниң оң бағити менен бетлесетуғиндай етип таңлап алсақ, онда тегисликтеги қәлеген ноқаттиң (x, y) Декарт координаталары менен (j, r) координаталары арасында байланис орнатыў мүмкин:
• I 2 . 2 , ^y
x = r cos j; y = r sin j; r = xx + y , tgj = —
x
Анықлама. Бағытланған кесинди вектор деп аталады.
Вектор AB (А ноқаты вектордың басы, В ноқаты вектордың ақыры делинеди) ямаса a түринде белгиленеди. Вектор узинлығы A4B|, a түринде белгиленеди.
Басы хэм ақыры бетлесетуғин вектор ноллик вектор деп аталады хэм 0 түринде белгиленеди, 0 = 0. Узинлығы 1 ге тең болған векторлар бирлик векторлар деп аталады.
Анықлама. Бир туўры сызықта ямаса параллел туўры сызықларда жатиўши векторлар коллинеар векторлар деп аталады.
Коллинеар векторлар бирдей бағытланған ямаса қарама-қарсы бағытланған болыўи мүмкин.
Анықлама. Коллинеар, бирдей бағытланған хэм узинлиқлары тең болған векторлар тең векторлар деп аталады.
Анықлама. Бир тегисликте ямаса параллел тегисликлерде жатиўши векторлар компланар векторлар деп аталады.
Егер компланар векторлардың баслары Улыўма ноқатқа ийе болса, онда олардың бир тегисликке тийисли болатуғын лығын көрсетиў мүмкин.
AB хәм BA векторлары қарама-қарсы векторлар деп аталады. Егер AB = a түринде белгиленсе, онда BA = - a түринде жазылады.
Векторлар үстинде сызықлы әмеллер деп Векторларды қосиў, алыў хәм Векторларды санға көбейтиўге айтылады.
Векторларды қосиўдьщ үшмүйешлик қәдеси. Нолден парықлы еки a = AB хәм b = BC векторлары берилген болсин. a + b = c, c = AC векторларын табиў ушын биринши қосылыўшы вектордың басын екинши қосылыўшы вектордың ақири менен тутастиратуғин векторға айтылады.
Векторларды косиўдыц параллелограм қәдеси. Бунда тәреплери берилген векторлар болатуғын параллелограмм дүзиледи, бунда векторлар бази бир ноқатта жайластирилади. Сонда параллелограммниң көрсетилген ноқаттан шиғиўши диагонали берилген еки вектор қосиндисин береди.
Векторларды косиўдыц қәсийетлери:

1. 
   Орын алмастырыў қәсийети a + b = b + a
   
2. 
   Группалаў қәсийети (a + b)+ c = a + (b + c).
   

Векторларды алыў әмели қосиўға керисинше орынланади.
Векторларды санға көбейтиў. a * 0 векторын иң l * 0 санына көбеймеси деп, a векторын а коллинеар, узинлығы |l| • |a| ға тең болған, l > 0
болғанда a векторы менен бирдей бағытланған, ал l< 0 болғанда a векторын а қарама-қарсы бағытланған la векторына айтылады. l- a = b болса, онда a||b, |b| = |l| • |a|. Тийкарғы қәсийетлери:

1. 
   l- a = a• l
   
2. 
   l(ma)=(lm)a, (l, m - const)
   
3. 
   (l + m)a = la + ma
   
4. 
   l(a + b)= la + lb.
   

Векторлардың сызықлы комбинациясы сызықлы ғәрезли хәм ғәрезсиз системалар. Вектордың туўрыға проекциясы. Кеңислик базиси, орт. Вектор координаталары.
a1,a2,...,an векторлары хәм l₁,l₂,...,ln санлары берилген болсин. Бул санлардың сәйкес векторларға көбеймесиниң қосиндиси l1a1 +l₂a₂ +... + ln an векторлардың сызықлы комбинациясы деп аталады.