I –Өзбетинше жумыс

Анықлама. Гипербола деп тегисликтеги сондай ноқатлардың көплигине айтылады, бул ноқатлардың хәр биринен усы тегисликтиң фокуслары деп аталыўши еки F1, F₂ ноқатларына шекемги болған қашиқлиқлардың айирмасиниң абсолйут шамасы турақлы шама 2а ға тең болса. М(х, у) эллипстиң қәлеген бир ноқаты болса, онда
\F\M\ - \F₂M\ = 2a бунда а- қәлеген турақлы сан.
Гиперболаның каноникалық теңлемеси:


(3)
4=і b²
Координата көшерлери гиперболаның симметрия көшерлери,
координаталар басы симметрия орайы болади.
Гипербола Оу ординаталар көшери менен кесилиспейди. B1 (0;b) хәм B₂(0;-b) ноқатлары гиперболаның жормал ушлары деп, |B1 B₂| = 2bкесиндиси
жормал көшери деп, b - жормал ярым көшери деп аталады.
Гипербола Ox абсциссалар көшери менен A1 (a;0) хәм A₂ (- a;0) ноқатларында кесилиседи. Бул ноқатлар гиперболаның хақыйқый ушлары деп, A1 A₂| = 2а кесиндиси хақыйқый көшери деп, а - хақыйқый ярым көшери деп аталады.
Гиперболани
y = ±—Хх² - a², x е(-¥; - a)u(a;+¥>) a
теңлемеси менен де жазиў мүмкин. Гипербола шегараланбаған сызық болып, ол х=а хәм х=-а туўры сызықлар менен шегараланбаған областтиң сиртинда жайласқан және еки тармаққа ийе.
Гиперболаның хақыйқый көшеринде F1 (c;0) хәм F₂ (- c;0) фокуслары жайласқан, бунда c = a a² +b². F1F2I = 2 c - гиперболаның фокус аралығы делинеди. Гиперболаның фокуслары жайласқан үлкен көшер фокал көшер
деп, r1 = IMF! хәм r₂ = |MF₂| шамалары фокал радиуслар деп, e = — (1 < e) a
шамасы гиперболаның ексцентриситети деп аталады.
x = a / e хәм x = -a / e туўры сызықлары гиперболаның директрисалары делинеди.
Гиперболаның қәлеген М ноқатынан F1 (ямаса F₂) фокусына шекемги
болған аралық пенен дирекстрисаға шекемги d₁ (ямаса d₂ ) аралық қатнаси
турақлы шама e ға тең болади: e = — = —. d1 d2




bb
y = —x, y = — x
aa

туўрылары гиперболаның ассимптоталары

деп


аталады.

3. 
   Парабола.
   

Анықлама. Парабола деп тегисликтиң фокус деп аталыўши берилген Ғ ноқаттан хәм директрисса деп аталыўши берилген туўры сызықтан теңдей узақлиқта жайласқан барлық ноқатлардың көплигине (геометрийалиқ Орнына) айтылады. Параболаның каноникалық теңлемеси:
y² = 2px (4)
бунда р-берилген турақлы хақыйқый параметр. Көбинесе p > 0, x > 0 деп уйғарылады.
Параболаны y = ±^2px теңлемеси менен де жазип көрсетиў мүмкин.

r = |MF| хэм d = |MN| санлары Параболаның қәлеген М
Ox көшери Параболаның симметрия көшери деп, О(0, 0) ноқаты Параболаның төбеси деп аталады. Парабола шегараланбаған сызық, ол асимптоталарға ийе емес.
f f p;
< ²



фокусқа хәм

директриссаға шекемги арақашиқлиқ деп
директрисаси деп, ноқатынан сәйкес
r
аталады, бунда r = d. Парабола ексцентиситети: e = — = 1.
d
Егер Параболаның фокал көшери сипатинда Оу көшери алинса, онда Параболаның теңлемесин x² = 2py түринде жазиў мүмкин.
Егер эллипс, гипербола хэм Параболаның фокусын полйар координаталар системасыниң полйусы ретинде, фокал' симметрия көшерин полйар көшер ретинде алсақ, онда бул үш иймек сызықти бир теңлеме менен жазиў мүмкин:
p
r =
1 - ecosj
b b b b b b b b b ■>...> . „ b b bbKb b b b
бунда e -ексцентриситет, р-параметр. Эллипс хэм гипербола ушын p = —
a
Үшинши хәм жоқарғы тәртипли алгебралық иймекликлер: Астроида, Декарт жапирағи хәм т.б.
Трансцендент иймекликлер: Циклоида, Дөңгелек жайилмаси,
епициклоида хәм т.б.
Кеңисликтеги ноқат, туўры хәм тегислик
Кеңисликтеги аналитик геометрийа. Кеңисликтеги ноқат, туўры хәм тегислик туўры мүйешли Декарт координаталар системасындағи туўры менен тегисликтиң теңлемелери, олардың өз-ара жайласыўы. Ноқаттан туўрыға хәм тегисликке шекемги қашиқлиқ.
Кеңисликте Oxyz туўры мүйешли Декарт координаталар системасы анықланған болсин. Кеңисликтеги фигураларди Улыўма F (x, y, z) = 0 түриндеги теңлеме менен аналитикалиқ авдатыў мүмкин, бунда F берилген функцийа.
Биринши тәртипли үш өзгериўшили сызықлы алгебралық теңлеме үш өлшемли кеңисликте тегисликти аңлатпайди. Тегисликтиң Улыўма теңлемеси:
Ax+By+Cz+D =0 (1)
бунда А, Б, C, Д коеффициентлердың кеминде биреўи нолден өзгеше қәлеген санлар деп уйғарылады.
M (x0; У0; z0) ноқаци арқалы өтетуғын хәм n = Ai + Bj + Ck векторын а перпендикуляр тегисликти A(x-x₀)+B(y-y₀)+ C(z-z₀)= 0 теңлемеси менен аниқлаў мүмкин.
Кесиндилердеги тегисликтиң теңлемеси:
х у z _л
-+—+-=1 а b c
бунда a, b, c - тегисликтиң сәйкес Ox, Оу, Oz көшерлеринен кесип алған кесиндилериниң узинлиқлары.
Мейли a1 хәм a 2 тегисликлери
A₁x+B₁y+C₁z+D₁ = 0, A₂x+B₂y+ C₂z+D₂ = 0 теңлемелери менен берилген болсин. Бул тегисликлердың арасындағы j мүйеш оларға нормал n1 =(A1;B1;C1) хәм n₂ =(A₂;B₂;C₂) векторларыниң арасындағы мүйеш ретинде аниқланады, яғный

COSj =
п1 • n 2 _ A1 A 2 + B1 B 2 + C 1 C 2
n I • In I A2 2 + B2 + C 2 A A 2 + B2 + C 2
|ⁿ1| |ⁿ2| vai + B1 + Ci vA2 ⁺ B2 ⁺ C2
Егер нормал векторлары коллинеар болса, онда оларға сәйкес келиўши перпендикуляр болса, онда сэйкес тегисликлер де перпендикуляр болади A₁A₂ +B₁B₂ +C₁C₂ =0.



тегисликлер параллел болади

C1
—¹ хәм егер нормал векторлары
C2


M 0 (x 0; У 0; z 0) ноқацинан Ах+Ву+Сз+Д=0 тегислигине шекемги \Ах о + By о + Cz о + D\
аниқланады d =^J , ==—¹.
A A² + B² + C²
Берилген еки тегисликтиң кесилисиў сызығы арқили өтетуғын барлық тегисликлер дәстесиниң теңлемеси:
a(Ax +By + Cz +D)+ b(A₁x +B₁y + C₁z+D₁)= 0
бунда a = 1 деп алип дәстеден екинши тегисликти шиғарип таслаў мүмкин.
Кеңисликтеги туўрыни биринши тәртипли үш өзгериўшили сызықлы алгебралық теңлемелердың системасы менен, яғный еки тегисликтиң
кесилисиў сызығы сипатинда аңлать^ мүмкин:


' A1 x + B1 у + C 1 z + D1 = 0


A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0
Бул туўрыньщ бағытлаўшы векторын (яғный туўрыға ямаса оған параллел туўрьға тийисли вектор) тегисликлердьң нормал векторларьниң векторлық көбеймеси түринде аниқланады.
Мейли туўры M0 (x0, у0, z0) ноқаци хәм 5 = (l; m; p) бағитлаўшы вектори менен берилген болсин. M(x;у; z) - усы Туўрыньщ қәлеген бир ноқаци деп уйғарамиз. Онда, туўрыныщ векторлық теңлемеси r = r0 + ts; параметрлик
теңлемеси x = x₀ + nt, у = у₀ + mt ; z = z₀ + pt ; каноникалық теңлемеси
x ^- x 0 ₌ У - У 0 ₌ z ^- z 0
n m p ’

a - a1	b - b1	c - c1
n	m	^p	=0
n1	m1	p1

Еки туўрыныщ бир тегисликте жайласыў шәрти:
Туўры хәм тегислик арасындағы мүйеш:
|An + Bm + Cp\
sin j = I , ,
A A² + B² + C² , n² + m² + p²
параллеллик шәрти: An + Bm + Cp = 0;
ABC перпендикулярлиқ шәрти: — = — = —. nmp