Ii bob kombinatorika elementlari
Download 462.24 Kb.
|
Ii bob kombinatorika elementlari-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- 8- x o s s a .
- 9- x o s s a .
- 10- x o s s a .
- 11- x o s s a .
|
7- x o s s a . 2 2 2 1 2 4 3 3 2 2 1 ... n n n u u u u u u u u u . 8- x o s s a . 1 ... 2 1 2 1 2 2 4 3 3 2 2 1
n n u u u u u u u u u . 9- x o s s a . n n u u u n u n nu 1 3 2 1 2 ... ) 2 ( ) 1 (
) 3 ( 4 n u n . 10- x o s s a . 2 ... 3 2 3 2 3 2 1 n n n u nu nu u u u . Endi Fibonachchi sonlarining binomial koeffitsientlar (Paskal uchburchagi) bilan bog‘lanishini ifodalovchi xossani o‘rganamiz.
(
N
) uchun
2 1 0 1 n k k k n n C u tenglik o‘rinlidir. Bu xossani isbotlash uchun n u (
,... 2
1
) sonlardan tuzilgan ,...
,..., ,
1 n u u u
ketma-ketlikning Fibonachchi qatori bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Buning uchun esa 1 0 0 0 0 2 1 1 0 1 1 1
k k k k k k C C C u ,
1 0 0 0 1 1 2 1 2 0 1 2 2 k k k k k k C C C u
ekanligini ta’kidlab, ,... ,...,
, 2
n u u u ketma-ketlik uchun 1 1
n n n u u u (
2
) rekurrent tenglikning bajarilishini ko‘rsatamiz. Agar
juft son ( s n 2 , N
) bo‘lsa, u holda
s k k k n n k k k n n C C u 0 2 0 1 , 1 0 1 2 1 0 1 s k k k n n k k k n n C C u ,
1 0 2 2 2 0 2 1 s k k k n n k k k n n C C u
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan foydalanib,
143
p p p n s k k k n s k k k n s k k k n n n C C C C u u 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s s n s p p p n s k k k n C C C
1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 s s n s k k k n k k n C C C
munosobatlarni hosil qilamiz. Binomial koeffitsientlarning k k n k k n k k n C C C 1 1 1 xossasiga binoan
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s s s k k k n s s n s k k k n n n C C C C u u
s s k k k n k n s s s k k k n C C C C C 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 n s k k k n s s n s k k k n u C C C
tengliklarga ega bo‘lamiz. n toq son bo‘lganda ham, yuqoridagidek mulohazalar yuritib, 1 1
n n n u u u
( 2
) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsatish mumkin. Demak, Fibonachchi qatorining ta’rifiga asosan, ,... ,...,
, 2 1 n u u u ketma-ketligi Fibonachchi qatoridir. ■ Yuqorida ta’kidlanganidek,
2 1 0 1 n k k k n n C u tenglik Fibonachchi sonlari bilan Paskal uchburchagi orasida bog‘lanishni ifodalayi. 1- shaklda tasvirlangan Paskal uchburchagidagi shtrixli chiziqlar bo‘ylab joylashgan sonlar yig‘indisi Fibonachchi sonlarini tashkil etadi.
N
) uchun
n n n u 2 5 1 2 5 1 5 1 tenglik o‘rinlidir. Bu xossani isbotlash maqsadida, avvalo, haqiqiy son uchun 1 2 tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, 3
4 , 5 , 6 va hokazo darajalarni
orqali ifodalaymiz:
2 1 ) 1 ( 2 3 ,
3 2 ) 2 1 ( 3 4
144
5 3 ) 3 2 ( 4 5 , 8 5 ) 5 3 ( 5 6 va hokazo. Bu ifodalardan ko‘rinib turibdiki, ulardagi ozod hadlar ham, ning koeffitsientlari ham Fibonachchi sonlaridan iboratdir. Matematik induksiya usulidan foydalanib, agar n u Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 2 n natural sonlar uchun
n n u u 1 formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, 2
bo‘lganda 1 2 1 2 u u tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni baza bajarildi. Induksion o‘tish: k n bo‘lgan hol uchun
k k u u 1 formula to‘g‘ri bo‘lsin. U holda 1 k n bo‘lganda quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
2 1 1 1 ) (
k k k k k k u u u u
k k k k k u u u u u 1 1 ) 1 ( 1 1 ) (
k k k k u u u u u .
Demak, 1 1 k k k u u .
Shunday qilib, 1 2 va ixtiyoriy 2
natural sonlar uchun n u
Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda
n n u u 1 formula to‘g‘ri ekanligi isbotlandi. Endi 1 2 tenglikni kvadrat tenglama sifatida qarab, uning biri musbat,
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 .......................................………..........
1 =1
u 2 =1 u 3 =1+1=2 u 4 =1+2=3 u 5 =1+3+1=5 u 6 =1+4+3=8 4 3
u 8 =1+6+10+4=21 u 7 =1+5+6+1=13 u 9 =1+7+15+10+1=34 ................................... 1- shakl
145 ikkinchisi manfiy ikkita 2 5
1 va
2 5 1 2 ildizlarini topamiz.
n n u u 1
formulaga ko‘ra,
. , 2 1 2 1 1 1 n n n n n n u u u u
Bu tengliklarni 1
u va
n u noma’lumlarga nisbatan tenglamalar sistemasi deb qaraymiz va uni hal qilib, 12- xossaning isbotiga ega bo‘lamiz. ■ Shunisi ajoyibki, 12- xossaga binoan, butun qiymatli n u son irratsional sonlardan iborat bo‘lgan kvadrat ildizlar orqali ifodalanmoqda. 12- xossani ifodalovchi tenglik Bine 32 formulasi deb yuritiladi. Kesmani bo‘laklarga bo‘lishda oltin kesim tushunchasini eslaylik. Berilgan kesmaning oltin kesimi deb uni shunday ikki qismga ajratish tushuniladiki, bu yerda butun kesma uzunligining katta qism uzunligiga nisbati va katta qism uzunligining kichik qism uzunligiga nisbati o‘zaro tengdir. Bu nisbatning qiymati 1
bilan ham
tasdiqlanadiki, masalan, tomonlari uzunliklarining nisbati 618
, 1
5 1 1 songa yaqin bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak inson ko‘ziga yoqimli bo‘lib ko‘rinishi qadim zamonlardayoq ma’lum bo‘lgan. Yana shunisi ham qiziqarliki, 1 1
n n u u ,
2 1 2 1 5 lim n n n u u .
Hayratlanarlisi shuki, Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa
32 Bine (Binet Jak-Filipp, 1786-1857) – fransuz matematigi va astronomi. 2- shakl
146 va hodisalarida kutilmaganda namoyon bo‘lishadi. Masalan, ular kungaboqarning urug‘lari joylashgan “savat”ida osonlik bilan sanab aniqlash mumkin bo‘lgan spirallar (aniqrog‘i spirallar yoylari) sonlari sifatida paydo bo‘ladi (2- shaklga qarang). Kungaboqarning urug‘lari joylashgan savatida logarifmik spirallarning 33 ikki oilasini kuzatish mumkin. Bu oilalardan birining spirallari aylanishi soat millari yo‘nalishida, ikkinchisiniki esa teskari yo‘nalishda bo‘ladi. Botanikada spirallar oilalarining bunday joylashishini fillotaksis Download 462.24 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|