Ikki oʻlchovli va uch oʻlchovli integrallarni geometrik va mexanik masalalarni yechishga tadbiqlari reja: Ikki oʻlchovli integralni qutb koordinatalar sistemasida o`zgaruvchilarni almashtirib hisoblash

Biz bilamizki agar f(x) funksiya [a,b] da integrallanuvchi bo`lsa, [a,x] da ( ) ya`ni ) ham integrallanuvchi bo`lib, integral qiymati x ning funksiyasi bo`ladi.

(1) (1) integral acdx egri chiziqli trapesiyaning yuzini ifodalaydi. Agar [a,b] da x o`zgarsa ham o`zgarishi ravshan.

y d c 0 a x  x+x b x

Teorema. Agar f(u) funksiya u= nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda integraldan yuqori chegarasi bo`yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng bo`lib, unda integrallash o`zgaruvchisi o`rniga integralning yuqori chegarasi qo`yiladi, ya`ni
yoki =f(x) bo`ladi.
Isboti. x ga orttirma bersak funksiya ham orttirma oladi:

. Agar integralga o`rta qiymat xaqidagi teoremani tatbiq qilsak ( ) bo`lib, bo`ladi.
hosilaning ta`rifiga ko`ra
Chunki da demak bo`lgani uchun da ravshan. Shunday qilib
Bu isbot qilingan, matematik analiz kursining asosiy teoremalarining biri bo`lgan teoremadan ko`rinadiki [a,b] da uzluksiz bo`lgan har qanday f(x) funksiya uchun aniq integral boshlang`ich funksiya bo`lar ekan. Uzluksiz bo`lgan f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi cheksiz ko`p bo`lgani uchun ularning ixtiyoriy bittasini F(x) boshqasini esa desak, ular bir-biridan o`zgarmas songa farq qiladi:
F(x)= +C
O`zgarmas C ni topish uchun, x=a desak F(a)= +C C=F(a), x=b desak
F(b)= yoki -