Ikki oʻlchovli va uch oʻlchovli integrallarni geometrik va mexanik masalalarni yechishga tadbiqlari reja: Ikki oʻlchovli integralni qutb koordinatalar sistemasida o`zgaruvchilarni almashtirib hisoblash

Nyuton-Leybnis formulasi kelib chiqadi.
F(b)-F(a)= deb ham belgilanadi.


Misol.

5. Aniq integralda o`zgaruvchini almashtirish.

Faraz qilaylik bizga kesmada integrallanuvchi bo`lgan funksiya f(x) berilgan bo`lib, undan shu kesmada olingan (1) aniq integral mavjud bo`lsin.
Bizning maqsad shu (1) aniq integralni hisoblash uchun o`zgaruvchini shunday almashtiraylikki natijada hosil bo`ladigan aniq integral berilgan aniq integralga nisbatan ancha sodda bo`lsin.
Teorema. Agar (1) da (2) almashtirish bajarganimizda funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa :

t d c x b a

funksiya [c,d] kesmada aniqlangan va uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. 2. Yangi o`zgaruvchi t [c,d] kesmada o`zgarganda funksiyaning qiymati dan chiqmasin. 3. bo`lsin, bu holda (3) tenglik o`rinli bo`ladi.

Isboti. f(x) funksiya da uzluksiz bo`lgani uchun uning shu kesmadagi boshlang`ich funksiyasini F(x) desak u holda Nyuton-Leybnis formulasiga ko`ra (4) tenglik o`rinli bo`ladi. Agar desak F(x)=F( ) funksiyaning funksiya uchun boshlang`ich funksiya ekanligini ko`rish qiyin emas.
haqiqatan chunki
desak [ ]=f[ ].
Demak Nyuton-Leybnis formulasiga ko`ra
=F(b)-F(a)=( (4) ga ko`ra )=
Misol yechganda integral ostidagi funksiya yuqoridagi shartlarni qanoatlantirishi shart.
Misol. 1)