Ikki oʻlchovli va uch oʻlchovli integrallarni geometrik va mexanik masalalarni yechishga tadbiqlari reja: Ikki oʻlchovli integralni qutb koordinatalar sistemasida o`zgaruvchilarni almashtirib hisoblash

Teorema. lar birgalikda bо’lmagan hodisalarning tо’la gruppasi bо’lsin va . Agar ixtiyoriy B - hodisa uchun bо’lsa, u holda quyidagi tenglik о’rinli bо’ladi.


5. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi, ularning xossalari va ularni hisoblash.
Ushbu funksiyalar kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lib, ular ning turli qiymatlariga da turli nuqtalarni mos qo`ysin. Bu holda kesmaning
funksiyalar yordamida da hosil bo`ladigan aksi ga sodda egri chiziq deyiladi: .
ga egri chiziqning boshlang`ich nuqtasi nuqtaga esa egri chiziqning oxirgi nuqtasi deb ataladi. Biz qaralayotgan egri chiziq to`g`rilanuvchi, ya`ni chekli uzunlikka ega bo`lsin deb faraz qilamiz.
Aytaylik, xOy tekisligida biror sodda egri chiziq yoyi va bu yoyda funksiya berilgan bo`lsin. egri chiziqni A dan V ga qarab nuqtalar yordamida n ta ( ) yoyga ajratamiz. yoyning uzunligini va deb belgilaymiz. Endi nuqtalar olamiz va quyidagi

yig`indini tuzamiz. Ta`rif. Agar bo`lib, u chekli I soniga teng bo`lsa va I ning qiymati ning bo`linish usuliga hamda nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u holda shu I soniga funksiyaning egri chiziq bo`yicha birinshi tur egri chiziqli integralideb ataladi va u kabi belgilanadi. Shunday qilib,
ekan.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar quyidagi xossalarga ega.
1) 2) 3)
4)
fazoning sohasida
vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar. Ta’rif. vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ko‘rinishda yoiladi va

formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.
Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:
Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi normali yo‘nalishida orientirlangan) vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng. Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:


bu yerda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
1.Divergensiyaning invariant ta’rifi. Divergensiyani (67) formula yordamida aniqlash koordinata o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq. Ostogradskiyning (16) formulasidan foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq bo‘lmagan boshqa ta’rifini berish mumkin. Bu formulaning o‘ng qismida uch karrali integral turibdi. O‘rta qiymat haqidagi ma’lum teoremaga ko‘ra bu integral hajm bilan integral osti funksiyasining sohaning biror nuqtasidagi qiymati ko‘paytmasiga teng. Shuning uchun (67) Ostogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin: yoki

Agar soha nuqtaga tortilsa yoki bo‘lsa, u holda nuqta ga intiladi. Natijada limitga o‘tib, quyidagini hosil qilamiz:

Birinchi tur egri chiziqli integrallar oddiy aniq integrallarning qanday umumlashtirilishi bo`lsa, birinchi tur sirt integrallari ham ikki karrali integrallarining shunday tabiiy umumlashtirilishidir. Bizga bo`lakli silliq kontur bilan chegaralangan ikki tomonli silliq (yoki bo`lakli silliq) sirt berilgan bo`lib, funksiya shu sirtda aniqlangan bo`lsin. (S) sirtni tarzda o`tkazilgan egri chiziqlar to`ri yordamida qismlarga ajratamiz. ning yuzasini deb belgilaymiz .Har bir da nuqta olib integral yig`indini tuzamiz va deb belgilaymiz. Ta’rif. Agar mavjud va chekli bo`lib, I ning qiymati (S) sirtning bo`linish usuli hamda nuqtalarning tanlanishiga bog`liq bo`lmasa, u holda I ga funksiyadan (S) sirt bo`yicha olingan 1-tur sirt integralideyiladi va
kabi belgilanadi.