In this final project work it is considered the questions of educating of the theme "Convergence criteria of the series with nonnegative terms" with the approach of innovation technologies

2. Коши аломати. Агар мусбат ҳадли
(1)
қаторда барча , учун
(2)
бўлса, (1) қатор яқинлашувчи бўлади;
(3)
бўлса, (1) қатор узоқлашувчи бўлади.
1-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Бу қаторнинг умумий ҳади

бўлиб, унинг учун

бўлади. Равшанки,
.
Демак, , берилган қатор яқинлашувчи. ►
◄ Айтайлик, (1) қатор ҳадлари учун

бўлсин. Равшанки, бу тенгсизликдан

бўлиши келиб чиқади.
Демак, берилган қаторнинг ҳар бир ҳади яқинлашувчи геометрик қаторнинг мос ҳадидан катта эмас. Унда таққослаш аломатига кўра (1) қатор яқинлашувчи бўлади.
Айтайлик, (1) қатор ҳадлари учун
, яни
бўлсин. Бу муносабат берилган қаторнинг ҳар бир ҳадини узоқлашувчи

қаторнинг мос ҳадидан кичик эмаслигини кўрсатади. Бу ҳолда яна таққослаш аломатига кўра (1) қатор узоқлашувчи бўлади. ►
Кўпинча Коши аломатининг қуйида келтирилган лимит кўринишидаги тасдиғидан фойдаланилади.
Фараз қилайлик, мусбат ҳадли (1) қаторда

мавжуд бўлсин. У ҳолда :

1. 
   бўлганда (1) қатор яқинлашувчи бўлади,
   
2. 
   бўлганда (1) қатор узоқлашувчи бўлади.
   

1-эслатма. Коши аломатидаги (2) ва (3) тенгсизликлар нинг бирор қийматидан бошлаб бажарилганда ҳам тасдиқ ўринли бўлади.
2-эслатма. Коши аломатининг лимит кўринишидаги ифодасида бўлса, у ҳолда (1) қатор яқинлашувчи ҳам, узоқлашувчи ҳам бўлиши мумкин.
3. Даламбер аломати. Агар (1) мусбат ҳадли
қаторда барча учун
(4)
бўлса, (1) қатор яқинлашувчи бўлади;
(5)
бўлса, (1) қатор узоқлашувчи бўлади.
2-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Берилган қатор учун

бўлиб,

бўлади. Равшанки,
.
Демак, , берилган қатор яқинлашувчи. ►
◄ Айтайлик, (1) қатор ҳадлари учун

бўлсин. Бу тенгсизликни қуйидагича

ёзиш мумкин.
Равшанки,

қатор (геометрик қатор) яқинлашувчи. Ташкилий қисмда эсга олинган теоремага асосан берилган қаторнинг яқинлашувчи бўлишини топамиз.
(1) қатор ҳадлари учун

бўлганда (1) қаторнинг зарурий шарти бажарилмайди. ►
Даламбер аломатининг қуйидаги лимит кўринишидаги тасдиқидан фойдаланилади.
Фараз қилайлик, мусбат ҳадли (1) қаторда

лимит мавжуд бўлсин. У ҳолда :
1) бўлганда (1) қатор яқинлашувчи бўлади,
2) бўлганда (1) қатор узоқлашувчи бўлади.
3-эслатма. Даламбер аломатидаги (4) ва (5) тенгсизликлар нинг бирор қийматидан бошлаб бажарилганда ҳам тасдиқ ўринли бўлади.
4-эслатма. Даламбер аломатининг лимит кўринишидаги ифодасида бўлса, у ҳолда (1) қатор яқинлашувчи ҳам, узоқлашувчи ҳам бўлиши мумкин.