Индивидуальное задание №1 по курсу Вероятность и статистика Задание по темам раздела «Случайные события» По практическим занятиям -п1, П2, П3

Условная вероятность
Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B
при дополнительном условии, что произошло событие А
Условной вероятностью PA(B)=P(B|A)
(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
P(AB)=P(B)⋅P(A|B)=P(A)⋅P(B|A).
В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:
P(A|B)=P(AB)/P(B), P(B|A)=P(AB)/P(A).

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.
Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет

Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет


Формула Бейеса.
Формула Бейеса - это математическая формула, которая описывает вероятность того, что некоторое событие произойдет, основываясь на уже известной информации и предыдущих событиях. Формула Бейеса основана на теореме условной вероятности, которая утверждает, что вероятность события A при условии, что событие B произошло, равна вероятности совместного появления A и B, деленной на вероятность события B:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
где P(A|B) обозначает условную вероятность события A при условии, что событие B произошло, P(A ∩ B) обозначает вероятность совместного появления событий A и B, а P(B) обозначает вероятность события B.
С помощью формулы Бейеса можно выразить вероятность события A, основываясь на предварительно известной информации, связанной с другими событиями, например:
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|¬B) * P(¬B)
где P(A) обозначает вероятность события A, P(¬B) обозначает вероятность того, что событие B не произошло, а P(A|¬B) обозначает вероятность события A при условии, что событие B не произошло. Формула Бейеса является мощным инструментом статистического анализа и применяется в различных областях, включая машинное обучение, искусственный интеллект, экономику, медицину и т. д.