«интернаука» Научный журнал №24(153) Июль 020 г. Часть Издается с ноября 2016 года Москва 2020 ббк 94 И73 Председатель редакционной коллегии: Еникеев Анатолий Анатольевич

 
Доказательство 
2.1. Найдем целочисленные решения следующей 
системы уравнений: 
{ 𝑢𝑣 = 𝑡
2
𝑢 + 𝑣 = 𝑐
3
(3). Пусть 𝑥
2
+ 
𝑦
2
= 
𝑧
2
,где x=
𝑚
2
-
𝑛
2
y=2mn
z=
𝑚
2
+
𝑛
2
, (m,n)=1. 
Тогда, 
при 
u=(
𝑚
2
+
𝑛
2
)(
𝑚
2
-
𝑛
2
)
2
=z
𝑥
2
v=(
𝑚
2
+
𝑛
2
)(2mn
)
2
=z
𝑦
2
{
uv = ( 𝑚
2
+ 𝑛
2
)
2
( 𝑚
2
− 𝑛
2
)
2
(2mn)
2
= (xyz)
2
= 𝑡
2
u + v = ( 𝑚
2
+ 𝑛
2
)[( 𝑚
2
− 𝑛
2
)
2
+ (2mn)
2
]
= ( 𝑚
2
+ 𝑛
2
)
3
= 𝑧
3
(4).
2.2. Если u=(
𝑚
2
-
𝑛
2
)(
𝑚
2
+
𝑛
2
)
2
=x
𝑧
2
v=(m-
n)(2mn
)
2
=x
𝑦
2
, то 
{
𝑢𝑣 = ( 𝑚
2
− 𝑛
2
)
2
(𝑚
2
+ 𝑛
2
)
2
(2𝑚𝑛)
2
= (𝑥𝑦𝑧)
2
= 𝑡
2
u − v = ( 𝑚
2
− 𝑛
2
)
3
= 𝑥
3
(5).
при одинаковых с п.2.1. m и n. 
2.3. Если u=(2mn)(
𝑚
2
+
𝑛
2
)
2
=y
𝑧
2
v=(2mn)( 𝑚
2
-
𝑛
2
)
2
=y
𝑥
2
,то
{
uv = (2mn)
2
( 𝑚
2
+ 𝑛
2
)
2
(𝑚
2
− 𝑛
2
)
2
= (xyz)
2
= 𝑡
2
u − v = (2mn)
3
= 𝑦
3
(6).
при одинаковых с п.2.1. m и n. 
2.4. Таким образом, использованы в (3) все слу-
чаи, связанные с целочисленными взаимно про-
стыми значениями m и n. 
Раздел 3 
3.1. Продолжим доказательство. Из п.2.1. 
uv=
𝑡
2
u+v= 𝑧
3 
Тогда, v= 𝑧
3
− 𝑢 ; (𝑧
3
−u)u= 𝑡
2
𝑢
2
− 𝑧
3
𝑢+ 𝑡
2
=0
u= 
1
2
[𝑧
3 
± √(𝑧
3
)
2
− (2𝑡)
2
] . 
Корень из подкоренного выражения будет це-
лочисленным, если уравнение 
(
𝑧
3
)
2
-(2t
)
2
=
𝛾
2
-пифагорово (7).
Отсюда, 𝑧
3
=
𝑚
𝑧
2
+
𝑛
𝑧
2
2t=
2 𝑚
𝑧
𝑛
𝑧
𝛾= 𝑚
𝑧
2
-
𝑛
𝑧
2
. 
Докажем, что -целое число при целочисленных 
z и t.Знаки абсолютных величин опускаются . 
𝑧
6
-4
𝑥
2
𝑦
2
𝑧
2
= 𝑧
2
(
𝑧
4
− 4𝑥
2
𝑦
2
)=
𝑧
2
[
𝑧
4
− 4(𝑧
2
-
𝑥
2
) 𝑥
2
]=
𝑧
2
(
𝑧
4
-4
𝑧
2
𝑥
2
+4
𝑥
4
)= 
𝑧
2
(
𝑧
2
-2
𝑥
2
)
2
=
𝛾
2
𝛾=z(𝑧
2
-2
𝑥
2
)=z(
𝑦
2
-
𝑥
2
)=z
𝑦
2
−z𝑥
2
=
𝑚
𝑧
2
− 𝑛
𝑧
2
𝑚
𝑧
2
=z𝑦
2
𝑚
𝑧
=y
√𝑧 𝑛
𝑧
2
=z𝑥
2
𝑛
𝑧
=x
√𝑧 (8). 

---

Журнал «Интернаука» 
№ 24 (153), часть 1, 2020 г. 
20 
Подтверждаются выводы следующим: 𝑚
𝑧
= 
1
2
√𝑧
3
+ 𝛾 𝑛
𝑧
=
1
2
√𝑧
3
− 𝛾 , 
что и требовалось доказать. 
Таким образом, иррациональные 𝑚
𝑧
и 𝑛
𝑧
по-
рождают пифагорово уравнение (7). 
Разделив 
каждый 
член 
уравнения 
(7) 
на(√𝑧)
4
, получим новое классическое пифагорово 
уравнение: (𝑥
2
+ 𝑦
2
)
2
-(2xy
)
2
= (
𝑦
2
− 𝑥
2
)
2
с соот-
ветствующими m и n. 
Примеры: 
m=2 n=1 
5
2
-
4
2
=
3
2
𝑚
5
= 4√5 𝑛
5
=3
√5 ( 5
3
)
2
-
(2.3.4.5
)
2
=[(16-9
)5]
2
125
2
-
120
2
= 35
2
. Такого типа уравнений бесчислен-
ное множество. 
Разделив каждый член на 25, получим: 
7
2
+
24
2
= 25
2
=
5
4
m=4 n=3. 
(или разделив каждый член без квадратов на 5). 
5
2
+
12
2
=
13
2
m=3 n=2 
2197
2
=
1547
2
+
1560
2
.
Разделив на 13, получим: 119
2
+ 120
2
=
13
4
. 
21
2
+
20
2
= 29
2
1189
2
+
24360
2
=
24389
2
41
2
+
840
2
=
29
4
=
841
2
. 
Раздел 4 
4.1. Из п.2.2. по аналогии с п.3.1.
𝛾
2
= (𝑥
3
)
2
+(2xyz
)
2
=….= 𝑥
2
(𝑥
4
-4
𝑥
2
𝑧
2
+4
𝑧
4
)= 
𝑥
2
(
𝑥
2
-2
𝑧
2
)
2
и 
𝛾=x(𝑥
2
− 2𝑧
2
) 
𝑚
𝑥
2
=
1
2
(
𝑥
3
+
𝑥
3
−
2𝑥𝑧
2
)=-x
𝑦
2
𝑚
𝑥
=y
√−𝑥 𝑛
𝑥
2
=
1
2
(
𝑥
3
-2x
𝑧
2
-
𝑥
3
)=-x
𝑧
2
𝑛
𝑥
=
𝑧√−𝑥 . 
Пример: 3
2
+ 4
2
=
5
2
𝑚
𝑥
=5√−3 𝑛
𝑥
= 4√−3 
(
3
3
)
2
+ 120
2
=(-123
)
2
. 
Разделив на 3, получим 3
4
+
40
2
=
41
2
. 
Раздел 5 
5.1. Из п.2.3. по аналогии с п.4.1. 
3
2
+
4
2
= 5
2
𝑚
𝑦
= 5
√4 𝑛
𝑦
= 3√4 
(
4
3
)
2
+
120
2
=
136
2
(
2
3
)
4
+
120
2
= 136
2
8
2
+
15
2
=
17
2
. 
Таким образом, вышеизложенным утверждение 
(А) полностью доказано. [4] 
Раздел 6 (следствия) 
Еще один способ получения новых типов пифа-
горовых уравнений (из разделов 3-5), или, по-
другому, факт реабилитации системы решений 
Эвклида на основе полученных мною тождеств 
(доказательство): 
6.1. Если 𝑥
2 
+ 𝑦
2
=
𝑧
2
, то 
𝑥
4
+ (2yz)
2
= (
𝑥
2
– 2
𝑧
2
)
2
(1) ; 
𝑦
4
+ (2xz
)
2
= (
𝑦
2
− 2𝑧
2
)
2
(2) ; 
𝑧
4
– (2xy
)
2
= (
𝑧
2
– 2
𝑥
2
)
2
= (
𝑧
2
– 2
𝑦
2
)
2
(3). 
6.2. Умножив (1)- на 𝑥
2
, (2)-на 
𝑦
2
, (3)-на 
𝑧
2
, по-
лучим: 
(
𝑥
3
)
2
+ (2xyz
)
2
= (
𝑥
3
-2
𝑧
2
𝑥)
2
, 
(
𝑦
3
)
2
+ (2xyz
)
2
= (
𝑦
3
- 2
𝑧
2
𝑦)
2
, 
(
𝑧
3
)
2
- (2xyz
)
2
= (
𝑧
3
− 2𝑥
2
𝑧)
2
=(
𝑧
3
− 2𝑦
2
𝑧)
2
. 
P.S. 1. Эллиптическая кривая Фрея: 
𝑦
2
= (
𝐴
𝑁
−
𝑥)( 𝐵
𝑁
+x). Пусть 
𝑦
2
=
𝑡
2
, 𝑢 = 𝐴
𝑁
− 𝑥 v= 𝐵
𝑁
+x. 
Тогда, u+v= 𝐴
𝑁
+ 𝐵
𝑁
=
𝑧
3
. 
1.1. При 
𝑢
1
= а𝑢 𝑣
1
= а𝑣 и a= 𝑧
𝑁−3
𝐴
𝑁
+ 𝐵
𝑁
=
𝑧
𝑁
(в частности), 
a- произвольное натуральное число, включая 
единицу. 
2. Поучительный изоморфизм: иммунная систе-
ма человека и пифагорово уравнение, которому 
удовлетворяют новые решения совсем другой, 
но уже известной природы.
 
Список литературы: 
1. Г. Дэвенпорт, «Высшая арифметика», Москва, «Наука», 1965, стр. 155. 
2. В. Литцман, «Теорема Пифагора», Физматгиз, Москва,1960, стр. 82-99. 
3. В. Боро и др., «Живые числа», Москва, «Мир»,1985. 
4. Реувен Тинт, «Новые типы пифагоровых уравнений на основе порождающих их иррациональных, ком-
плексных и целых чисел» (элементарный аспект), Москва, «Интернаука», № 18(147), ч.1, 05.2020, стр. 44-45. 
 
 

---

Журнал «Интернаука» 
№ 24 (153), часть 1, 2020 г. 
21 
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ПО ТЕМЕ 
«ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ»
ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ 
Бондаренко Людмила Павловна
учитель математики, заместитель директора
Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения 
 «Кустовская средняя общеобразовательная школа Яковлевского городского округа»
Белгородской области,
РФ, с. Серетино 
 
Уважаемые ученики, добро пожаловать на 
урок алгебры и начал математического анализа! 
Это теоретическое занятие по теме "Примене-
ние производной к исследованию функции". 
Уважаемые ученики, сегодня нам предстоит 
установить:  
1) Какая функция называется возрастающей 
(убывающей). 
2) Как связан “знак” производной с возраста-
нием и убыванием функции. 
3) Какую точку называют точкой максимума 
(минимума). 
4) Какие точки называются критическими. 
5)Геометрический смысл производной. 
6) Алгоритм 
нахождения наибольшего и 
наименьшего значений непрерывной на заданном 
отрезке функции. 
 
Таблица 1. 
Практическая работа 
Итак, приступаем к рассмотрению вопросов. 
1. Функция y=f(x) называется возрастающей 
на некотором интервале, если в точках 
этого интервала большему значению аргу-
мента (Х
1
>Х
2
) соответствует большее 
значение функции т. е. f(Х
1
)>f(Х
2
) 
Функция y=f(x) называется убывающей на 
некотором интервале, если в точках этого 
нтервала большему значению аргумента 
(Х
1
>Х
2
) соответствует меньшее значение 
функции т. е. f(Х
1
)
2)
2. Если производная функции y=f(x) поло-
жительна (отрицательна) на некотором 
интервале, то функция в этом интервале 
монотонно возрастает (монотонно убы-
вает). 
Признак убывания функции: если f
/
(х)<0 в 
каждой точке некоторого промежутка, то 
на этом промежутке функция f(x) убывает. 
Признак возрастания функции: если 
f
/
(х)>0 в каждой точке некоторого проме-
жутка, то на этом промежутке функция 
f(x) возрастает. 

---

Журнал «Интернаука» 
№ 24 (153), часть 1, 2020 г. 
22 
3. Признак максимума функции: Если 
функция f(x) непрерывна в точке х
0 
,а f
/
(х)>0 
на интервале (a;х
0
) и f
/
(х)<0 на интервале
(х
0
;b ), то x
0
 является точкой максимума.