Internetdan olingan ma’lumot

Квадрат тенглама ҳақида маълумот.

ах²+вх+c=0 кўринишидаги тенглама квадрат тенглама, бунда а, в ва c берилган сонлар, шу билан бирга, а 0 х- номаълум сон.

Квадрат тенгламанинг коэффициентлари қуйидагича аталади. а - биринчи ёки бош коэффициент, в - иккинчи коэффициент, c - озод ҳад. Квадрат тенгламага мисоллар
2х²-х-1=0, 3х²+7х=0, -2х²-3х+9=0, 6х²+5х-8=0
Чала квадрат тенглама ҳам ах²+вх+c=0 кўринишдаги квадрат тенглама, аммо унда
в ёки c коэффициентлардан ақалли биттаси нолга тенг бўлади.

Чала квадрат тенгламаларга мисоллар:

х²=0, 5х²-4=0, 8х²+х=0, х²-9=0, х²-3х=0

Квадрат тенглама илдизларининг формуласи:
Х_1,2=
Масалан, 3х²+5х-2=0 тенглама 2 та илдизга эга:

Х_1,2= х₁₌ х₂=-2

Келтирилган квадрат тенглама х²+пх+қ=0 кўринишидаги тенглама. Келтирилган квадрат тенгламанинг илдизларининг формуласи:

Х_1.2=- бу формулани п - коэффициент жуфт бўлганда ҳисоблаш осон бўлади.

п- коэффициент тоқ сон бўлганда

Х_1,2= формуладан фойдаланиш мумкин.

Масалан,х²-6х-7=0 тенгламанинг илдизлари:
Х_1,2= =3 =3 , х₁=3+4=7, х₂=3-4=-1
Ечимларнинг хоссалари:
б²-4аc > 0 - 2та ҳар хил ҳақиқий ечими бор
б² -4аc = 0 - 2та бир хил ҳақиқий ечими бор
б² -4аc < 0 - ҳақиқий ечими йўқ.


Квадрат тенгламани ечишнинг ал-Хоразмий усули.

Хоразмий рисоласида ҳеч қандай формулалар ва символлар бўлмай, балки тенгламалар ва уларнинг ечилиши сўзлар билан баён этилган.

Хоразмий асарининг номидаги “Ал-жабр ва ал-муқобала” иборасига унинг замондошлари ва ундан кейинги Шарқ олимлари ҳам изоҳ бера бошлайдилар. Ниҳоят, ўрта аср Шарқ математиклари бу иборани қуйидагича талқин қиладилар:
“ал-жабр”(тиклаш) – шундай операцияки, унинг ёрдамида, агар тенгламада айрилувчи ҳад иштирок этса, миқдор жиҳатдан унга тенг бўлган ҳадни тенгламанинг иккала қисмига қўшиш билан айрилувчи ҳадни тенгламанинг иккинчи томонига қўшилувчи қилиб ўтказилади.
“Ал-муқобала” (рўпора қўйиш) – операцияси ёрдамида тенгламанинг иккала қисмида бир хил ўхшаш ҳад бўлса, буларнинг умумий қисми ташланади.
Демак, “ал-жабр ва ал-муқобала” операциялари ёрдамида берилган тенгламани юқорида кўрсатилган олтита кўринишдаги манфий ҳад иштирок этмаган содда тенгламага келтирилади.
Хоразмий асарида ҳеч қандай формула ва символлар ишлатилмайди. У тенгламаларни ва уларни ечишни сўз билан баён этади:
Бунда номаълум “шай” (нарса), унинг квадрати “мол” деб аталган. Номаълум илдиз (жазр) деб аталган.
Хоразмий, квадрат тенгламаланри қуйидаги ҳолларга бўлади:
1.Хоразмий ёзади: ”Квадрат илдизга тенг бўлган ҳол, масалан, квадрат ўзининг бешта илдизларига тенг бўлса х²=5х, у вақтда бу квадратнинг илдизи бешга тенг бўлади, унинг квадрати йигирма бешга ёки бешта илдизга тенг бўлади”

х ²=5х дан х=5 (х²=25)

; х²=12х; х=12; (х²=144).
5х²=10х; х²=2х; х=2; (х²=4).
2.Квадратлар сонга тенг, масалан, “агар сен айтсанки, квадрати 9 га тенг, у вақтда тўққиз-квадрат ва унинг илдизи уч бўлади”, деб ёзади Хоразмий. Яъни: х²=9, х=3
Масалан 5х²=80, х²=16, х=4.
х²=36, х=6.
3.”Илдизлар сонга тенг” тенгламасининг ечилиши қуйидаги мисоллар билан тушунтирилади. Агар илдиз учга тенг бўлса, демак, илдиз 3 ва унинг квадрати 9 бўлади. Яъни: х=3 (х²=9)
Масалан 4х=20, х=5 (х²=25).
х=20 (х²=400).
4.”Квадратлар ва илдизлар сонга тенг” яъни ах²+бх=c шаклдаги квадрат тенгламани, масалан, х²+10х=39 ни ечиш учун Хоразмий шундай қоида беради: “Агар сен айцанки, квадрат ва унунг ўнта илдизи 39 дирҳамга тенг, у вақтда бунинг маъноси, шуки, агар бирор квадратга унинг илдизларининг 10 баравари қўшилса, 39 ҳосил бўлади”. Унинг қоидаси шундай: илдизлар сонини иккига бўл, бу масалада беш бўлади, буни 39 га қўшсанг, 64 бўлади. Бундан илдиз чиқар, 8 бўлади ва ундан илдизлар сонининг ярмини, яъни 5 ни айир, уч қолади. Мана шу сон сен излаган квадрат илдиз бўлади, квадрат эса тўққиз бўлади.
“Агар - деб ёзади Хоразмий – квадрат битта бўлмасдан, 2 та, 3 та, 4та ва умуман кўп сонда бўлса, битта квадратга келтириш керак”.
Бошқача айтганда, номаълумнинг юқори даражаси олдидаги коэффициентни 1 га айлантириш керак. Бунинг учун тенгламанинг ҳар икки томонини кватратнинг коэффициентига бўлиб, ҳосил бўлган тенгламани юқорида баён этилган қоида бўйича ечиш керак.
Демак, Хоразмий ўз алгебрасида 3 хил миқдорлар билан амал бажаради. Булар илдизлар, квадратлар ва оддий сон. Сўнг бу миқдорларнинг ҳар бирига
тушунча беради.
Илдиз – ҳар қандай номаълум нарса “Шай” деб аталади. Квадрат - илдизнинг ўзини – ўзига кўпайтмаси: оддий сон-илдизга ва квадратга тегишли бўлмаган ҳар қандай сон.

1. 
   Квадратлар илдизларга тенг: ах²=бх
   
2. 
   Квадратлар сонга тенг: ах²=c
   
3. 
   Илдизлар сонга тенг: бх=c.
   

Бу чала квадрат тенгламаларни ечиш қоидасини I – III – бобларда
Кўрсатгандан сўнг, у шундай иборалар билан қуйидаги тўла квадрат тенгламаларни кўрсатади.
4.Квадрат ва илдизлар сонга тенг: ах²+вх=c
5.Квадратлар ва сон илдизларга тенг: ах²+c=бх
6.Илдизлар ва сон квадратларга тенг: вх+c=ах²
Бунда а,в ва c лар мусбат сонлар.
Шу типдаги квадрат тенгламаларнинг мусбат илдизини топиш қоидаси IV–VI-бобларда коэффициентлари сон бўлган тенгламаларни ечиш билан ҳал қилинади ва бу қоиданинг тўғри эканлигини геометрик метод билан VII-Х-бобларда исбот қилинади.
Шу даврда манфий сон ҳақида тушунча бўлмаганлиги учун Хоразмий
тенгламаларни юқорида кўрсатилган 6 ҳил мусбат коэффициентли содда кўринишда классификация қилади ва уларни мусбат ечимини топишни кўзда тутади.