Internetdan olingan ma’lumot

Хоразмийнинг тенглама ечиш усулларидан намуналар келтирамиз.


Масала. Квадрат ва йигирма бир дирҳам ўн илдизга тенг: у ҳозирги белгиланиши қуйидагича: х²+21=10х (1)
Хоразмий қоидаси бўйича ечамиз:

1. 
   Илдиз саноғини яримлат, бу 5 бўлади.
   
2. 
   Яримлаган илдиз саноғини ўз-ўзига кўпайтир бу 25 бўлади.
   
3. 
   Яримлаган илдиз саноғини квадратидан 21 ни айир, бунда 4 қолади.
   
4. 
   4 ни квадрат илдиздан чиқарсанг 2 бўлади.
   
5. 
   Яримлаган илдиз саноғидан 2 ни айирсанг 3 бўлади.
   
6. 
   Агар ҳоҳласанг ярим илдиз саноғига 2 ни қўшсанг 7 бўлади.
   
7. 
   Ҳар иккала изланган илдиз 3 ва 7 бўлади.
   

Ҳозирги белгилашларда ечилиши.
х²+21=10х а=1, б=10, c=21
1. 2.
3.
4. = =
5.
6.
Оҳирида ҳар иккаласи 3 ва 7 изланган илдиз.
Х_1,2=
Х₁=5-2=3 х₂=5+2=7
Жавоб: х₁=3 ва х₂=7
Агар бўлганда 5-кўринишдаги квадрат тенгламаларнинг ҳамма вақт
2 та мусбат илдизи борлигини эътиборга олиб Хоразмий бу кўринишдаги тенгламаларнинг илдизларини топиш учун ярим илдиз саноғига илдиздан чиққан сонни қўшиш ва айириш амалларини ишлатиш зарур дейилади.
Агар бўлса, тенгламанинг илдизи мавҳум бўлганлиги учун у бу масалани ечиш мумкин эмас ва агар бўлса, тенгламанинг илдизи, илдиз саноғининг ярмига тенг дейди. IV ва VI тур тенгламаларнинг ҳар бирини биргина мусбат илдизи борлигини назарда тутиб, бу кўринишдаги тенгламаларда фақат биргина илдиз бор деб уқтиради.
Шундай қилиб, х²+c=бх умумий шаклдаги тенгламани ечиш учун
Хоразмийнинг қоидасини х= кўринишда ифодалаш мумкин.
Хоразмий х²+21=10х тенгламани ечиш қоидасининг тўғри эканлигини геометрик метод билан исбот қилади. х²+c=бх
М L К

2 3	2 2
E 3	Q	H		А C х х

N 3 Л F B Д
АД квадрат ясалади, унинг томони номаълум, бу х бўлсин. Квадрат ёнига кенглиги хга тенг, томонлари ўзаро параллел шакл ясалади.Бу BE шакл бўлиб, CE=б (мисолда 10) бўлсин, CД=х бўлганидан, АCBД юзи=х². Бунда х< бўлиш керак. АBEН юзи=(б-х)х=c бўлади.
ДН ни F нуқтага тенг 2 га бўламиз ва унга перпенкуляр чиқарамиз. Бу перпендикулярни HК=HА= миқдорча давом эттирамиз. Томони , яъни
(5-х) бўлган квадрат ясаймиз. Бунда ясашга томонлари мос равишда тенг бўлганидан АBHА ва LQМR шакллар ўзаро тенг бўлади у вақтда
МКНА юзи=АBEН юзи+LКQHюзи ёки ёки=5²(5-х²)+21
бундан ёки (5-х)²=5²-21 бундан ёки
5-х= ; 5-х=2 х=5-2=3, х=3 ёки х=
Демак, CД изланган квадратнинг томони х бўлиб, бу 3 га тенг бўлади.
Юқоридаги тенгламанинг 2-ечими учун геометрик шакл арабча қўл ёзмада келтирилмаган. Аммо асарнинг Роберт томонидан бажарилган лотинча таржимасида 2-ҳол учун ҳам геометрик шакл келтирилган. Буни ясаш қуйидагича бажарилади.

B М А

Q	К
Н L
	F

C А E Д 5-шакл C

К H		L
		Q

Д F B Н
4-шакл
ДН=б (илдизлар сони, мисолда 10та) олиб, ДB=х ажратилади, бунда х> (х>5) бўлсин (4-шакл).
Кесманинг ўртаси F нуқта олиниб, FНМК квадрат ва томони FB= бўлган квадрат ҳамда ABHE тўғри тўртбурчак ясалади. АBHE юзи ёки бўлди.
Шаклдан: FBQHюзи=FНМК юзи-АBНE юзи ёки ,бунда ёки
Демак, ДБ томони, яъни х=7 бўлади.
“Илдизлар ва сон квадратларга тенг”, яъни bх+c=ах². Бундай квадрат тенгламани масалан 3х+4=х² бўлган ҳолда ечиш учун Хоразмий шундай қоида беради: “Илдизлар сонини 2 га бўл, бир ярим бўлди, буни ўз-ўзига кўпайтир, икки ва чорак бўлади. Уни 4 га қўшсанг олти-ю чорак бўлади. Бундан илдиз чиқар, икки ярим бўлади. Буни илдизлар сонининг ярмига, яъни, бир яримга қўш 4 бўлади.
Мана шу квадратнинг илдизидир, квадратнинг ўзи 16 бўлади”.
Агар тенгламада квадратнинг сони бирдан ортиқ бўлса ёки бирдан кам бўлса, бу ҳолларни Хоразмий 1 та квадрат ҳолатига келтириб юқоридаги қоида бўйича ечиш керак деб ёзади.
Ъозирги белгиларга асосан бу қоидани кўринишида ифодалаш мумкин. бх+c=х² шаклидаги тенгламани, масалан,3х+4=х² тенгламани ҳам Хоразмий геометрик усул билан қуйидагича ечади:
Томони номаълум бўлган квадрат ясаймиз. (5-шакл) АС томонида CE=б кесма ажратади, EC га тeнг CД ни олади. У вақтда АEBQ юзи =х(х-б)=c бўлади. EC ни H нуқтада тенг 2 га бўлиб, EF квадратни ясайди, Унинг юзи га тенг бўлади. HL да FL=АE ни олиб, АHМL квадратни ясайди. У вақтда АHМL юзи =RHKF юзи+АRBQ юзи ёки бўлади. Бундан
ёки ҳосил бўлади. Агар юқоридаги тенглама илдизларининг мос қийматларини эътиборга олсак,х=4 келиб чиқади. Демак, ҳосил бўлган квадратнинг томони АC=х бўлиб, квадратнинг илдизини аниқлайди.
Хоразмий, ах²+bх+c=0 умумий кўринишдаги квадрат тенгламаларни ечиш устида махсус тўхталган. Лекин у ах²+bх=c кўринишдаги тенглама учун келтирилган қоидасини умумлаштирсак,қуйидагини айтиш мумкин.
У бундай тенгламаларни аввал х²нинг коэффициентини бирга келтиради. Яъни уни келтирилган тенглама шаклида ёзади. Яъни Хоразмий ах²+bх+c=0 ёки тенглама илдизларини топиш учун: ёки формула билан ифодаланувчи қоида беради ва сўнгра бу қоиданинг геометрик исботини кўрсатади.
Хоразмий квадрат тенгламаларнинг манфий илдизини, шунингдек, мавҳум илдизларини эътиборга олмайди. Мисол. х²-7х+12=0 х²+12=7х
Квадрат ва 12 дирҳам етти илдизга тенг.
1. Илдиз саноғини яримлат, бу 3,5 бўлади.
2. Яримлаган илдиз саноғини ўз-ўзига кўпайтир бу 12,25 бўлади.
3. Яримлаган илдиз саноғининг квадратидан 12 айир, бунда 12,25-12=0,25
4. 0,25ни квадрат илдиздан чиқарсанг 0,5 бўлади.
5. Яримлаган илдиз саноғидан 0,5 айирсанг 3,5-0,5=3 бўлади.
6. Агар ҳоҳласанг ярим илдиз саноғига 0,5 ни қўшсанг 3,5+0,5=4 бўлади.
7. 3 ва 4 изланган илдиз бўлади.
Масала 2.Квадрат ва тўрт дирҳам 5 илдизга тенг; у ҳозирги белгиланишларда қуйидагича х²+4=5х
Хоразмий қоидаси бўйича бу тенгламани ечамиз.
1. Илдиз саноғини яримлат: 5:2=2,5 бўлади.
2. Яримлаган илдиз саноғини ўз-ўзига кўпайтир бу бўлади.
3. Яримлаган илдиз саноғини квадратидан 4 ни айир 6,25-4=2,25 бунда 2,25 қолади.
4. 2,25ни квадрат илдиздан чиқарсанг 1,5 бўлади.
5. Яримлаган илдиз саноғидан 1,5ни айирсанг 2,5-1,5=1 бўлади.
6. Агар ҳоҳласанг ярим илдиз саноғига 1,5ни қўшсанг 2,5+1,5=4 бўлади.
7. 1 ва 4 изланган илдиз бўлади.


Масала-3. 1)х²+5=4х квадрат ва 5 дирҳам 4 илдизга тенг.
Ечиш:
1)Илдиз саноғини яримлат 4:2=2 бўлади.
2) Яримлаган илдиз саноғини ўз-ўзига кўпайтир бу бўлади.
3) Яримлаган илдиз саноғининг квадратидан 5 ни айир 4-5=-1, бунда
-1 қолади. Хоразмий даврида манфий сон тушунчаси йўқлиги сабабли бундай ҳолда -1дан квадрат илдиз чиқариб бўлмайди. Хоразмий усулида ҳар қандай квадрат тенгламани ечиш мумкин бўлавермайди.
Муҳаммад Хоразмий алгебраик асарининг асосий мақсади, мусулмон ҳуқуқи нормаларига қараб, мероҳўрлар ўртасида мулкни тақсимлаш масаласининг назарий ва амалий жиҳатдан ёритишга қаратилган. Бу масалани соф арифметик усулда ҳал қилиш қийин бўлганлиги сабабли, объектив равишда алгебраик усулни қўллайди ва алгебранинг асосий бўлими тенгламаларни мерос тақсимлашга моҳирлик билан тадбиқ қилади.
Демак, Хоразмий математика тарихида биринчи бўлиб, алгебра фанидан китоб ёзади ва ўз китобида квадрат тенгламаларнинг классификациясини берди. Хоразмийгача квадрат тенгламаларни ечиш учун умумий қоида бўлмаган. Хоразмий 1-бўлиб, бундай қоидани берди, исботини кўрсатди. Хоразмий алгебра фанини асословчи математик олим бўлиб, алгебрани ал-жабр ал-муқобала ҳисоблашларидан иборат фан деб таърифлади.