Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

§ 5. Потенциальная энергия при изгибе пластинки
Выведем формулу для определения потенциальной энергии, на­капливающейся при изгибе пластинки. Согласно принятым гипотезам (см. § 1, гл. VIII) 555 и у = у — 0, поэтому формула удельной
потенциальной энергии (3.18) принимает вид

Внося сюда выражения напряжений (8.6) и деформаций (8.5), по­лучаем

Прибавим и вычтем из выражения в квадратных скобках величину


Подставим полученное выражение удельной потенциальной энер­гии в формулу (3.20). Так как прогибы пластинки являются функция­ми только двух переменных х и у, то в тройном интеграле можно от­делить интегрирование по z:

Интегэируя и вводя цилиндрическую жесткость 8.7), получаем

Здесь двойной интеграл берется по всей площади срединной поверхности пластинки.
Для некоторых случаев закрепления пластинки выражение по­тенциальной энергии (9.10) можно упростить. Возьмем интеграл от последнею слагаемого в квадратных скобках и преобразуем его сле­дующим образом:

В последнем выражении проведем интегрирование по частям:


и проинтегрируем по частям. Тогда интеграл (а) примет такой вид:

втором из полученных контурных интегралов интегрирование ве­дется вдоль контура пластинки, параллельного оси у.
Таким образом, в двух рассмотренных случаях интеграл (в) при­водится к виду

После его подстановки в формулу потенциальной энергии (9.10) выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль и формула упрощается:

Полученное выражение можно использовать для определения по­тенциальной энергии при изгибе пластинок любого очертания, за­щемленных по контуру, а прямоугольных пластинок — еще и шар­нирно опертых по контуру.
§ 6. Пример решения задачи методом Ритца — Тимошенко

где функции

как показано в §8 гл. VIII, удовлетворяют всем гранич­ным условиям шарнирного опирания пластинки — и гео­метрическим, и статическим.
Для вычисления коэффи­циентов ряда akl определим потенциальную энергию си­стемы внешних и внутренних сил (9.2). Предварительно подсчитаем оператор Лапласа над функцией w_n (х, у):

и подставим это выражение в формулу (9.11):


Подставим этот ряд в формулу (б). Меняя порядок интегрирования и суммирования, а также вынося постоянные величины за знак интеграла, получаем


Исследуем входящие сюда интегралы. Первый из них

т. е. этот интеграл отличен от нуля только при k = с. В этом случае он равен

Аналогично, второй интеграл

Подставляя ненулевые значения интегралов в формулу (в) и учи­тывая, что они отличны от нуля только при значениях индексов сум­мирования с = k и d = l, находим

Работу внешних сил при изгибе пластинки под действием попереч­ной нагрузки можно подсчитать по формуле (9.4). Подставим в эту формулу функцию прогибов wn (а) и учтем, что q = const:

Интегрируя, получаем

Подставим соотношения (г) и (д) в формулу (9.2), сохраняя в обо их рядах только члены, содержащие нечетные индексы k и I (при чет ных индексах коэффициенты
Коэффициенты aki нужно выбирать так, чтобы потенциальная энергия системы имела минимум, т. е. должны выполняться условия (9.5):

Отсюда находим значения постоянных коэффициентов:

Подставим эти коэффициенты в уравнение прогибов (а) и вынесем за знак суммы постоянный множитель а⁴:

Если в формуле (e) взять бесконечно большое число членов, т. е. принять п = оо, то получим решение задачи, совпадающее с точным [см. формулу (8.20)].

Рассмотрим приближенное решение, ограничиваясь одним членом ряда. Тогда из формулы (е) имеем

Максимальный прогиб возникает в центре пластинки (при х = а/2 шт у = Ы2):

В квадратной пластинке, когда а — Ь, максимальный прогиб

Подставляя в эту формулу выражение цилиндрической жесткости (8.7) и принимая коэффициент Пуассона v = 0,3, находим

Это приближенное значение отличается от точного, равного max w = 0,0443?a4/(£7t3), всего на 2,7%.
Изгибающие моменты найдем по формулам (8.8), подставляя функ­цию прогибов в первом приближении (ж):
Максимальные изгибающие моменты также возникают в центре пластинки:

В квадратной пластинке

Точное значение, приводимое в справочниках, составляет max М — = 0,0479?а2. Следовательно, максимальный изгибающий момент для квадратной пластинки, подсчитанный в первом приближении, отли­чается от точного значения на 11,7%. Поэтому при вычислении из­гибающих моментов в рассматриваемой пластинке следует брать еще несколько членов ряда (е). Еще менее точный результат получается при вычислении в первом приближении поперечных сил.