Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

§ 3. Метод Бубнова — Галеркина
Метод Бубнова—Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. В курсе математического анализа дается следующее опре­деление ортогональных функций: если имеется семейство непрерыв­ных функций

и интеграл произведения любых двух различных функций этого се­мейства в промежутке [а, Ъ) равен нулю:

то функции (а) образуют в этом промежутке ортогональную систему. Например, семейство тригонометрических функций

является ортогональной системой в промежутке [— я, + я].
Действительно,

причем эти интегралы исчерпывают всевозможные варианты комбини­рования двух различных функций семейства (б).

представляющую собой левую часть дифференциального уравнения изо­гнутой оси балки. Эта функция тождественно равна нулю при любых значениях х, и, следовательно,

Здесь интеграл берется но всей длине балки L, и поэтому функция ортогональна в промежутке [0, к любой функции.
Если функцию прогибов w (х) заменить ее приближенным выраже­нием в форме ряда

то функция (г) уже не будет тождественно равна нулю, значит, и не будет ортогональна в указанном промежутке к любой функции. Можно, однако, потребовать, чтобы она была ортогональна хотя бы к ограниченному классу функций, например, функций ф₁, составляю­щих ряд (д), т. е. чтобы

В результате получим п линейных уравнений для определения п постоянных коэффициентов а₁ входящих в ряд (д).

где вместо линейного промежутка рассматривается плоская область s, ограниченная контуром пластинки, а функция выражается сле­дующим двойным рядом по области s:

§ 4. Метод Власова
х« (*), удовлетворнющих тем же геометрическим граничным условиям, что и w (х), т. е.

Функции х* (*) являются безразмерными, а коэффициенты Я*, имеют размерность прогиба ш.
Переходя от линии у = const к другой, смежной с ней, замечаем, что вследствие непрерывности функции ш (х, у) значения числовых коэффициентов Xk будут меняться как непрерывные функции у. Следовательно, функция прогибов может быть представлена в виде разложения

. 54, можно записать в такой форме:

Применяя интегрирование по частям, выражение (в) представим в виде

Согласно формулам (8.8) и (8.19), разность значении изгибающих моментов Мх и приведенных поперечных сил Q"piiE, вычисленных для краевых сечений пластинки (х = 0; а), составит:

Учитывая эти зависимости, уравнение (г) можно несколько уп­ростить:

Входящие в это уравнение члены ставляют собой отнесенную к единице длины работу краевых изгибаю щих моментов и приведенных поперечных сил, приложенных в сече­ниях х = 0 и х = а. Причисляя эту работу к суммарной работе внеш­ней нагрузки? и подставляя функцию (б), получим вариационное урав­нение равновесия (д) в окончательном виде:

Входящие сюда коэффициенты вычисляются по формулам

а свободные члены — по формуле

Коэффициенты a_ik, определяются только выбранной си­стемой функций поперечного распределения прогибов ул (х). Они об­ладают свойством взаимности:

Если продольные края пластинки закреплены от прогибов, то формулы (е) принимают вид

должны быть присоединены 4п граничных условия на поперечных краях.
Решив систему уравнений (9.8) при заданных граничных условиях на поперечных краях, получим выражения для всех функций Wk (у) и тем самым согласно разложению (б) определим функцию прогибов
W (х,
Для определения усилий в пластинке преобразуем формулы (8.8),
, (8.10) и (8.19), подставив в них функцию (б):

За функции %к ( х) можно принимать фундаментальные функции по­перечных колебаний балки постоянного сечения. Например, при шар­нирном опирании обоих продольных краев и нагрузке, симметричной относительно плоскости х = а/2,

а при кососимметричной нагрузке

Если продольные края пластинки свободны от опирания, то при симметричной нагрузке

а при кососимметричной —

Если край х = 0, шарнирно оперт, а край х = свободен от опи­рания, то