Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок


§ 2. Расчет оболочки произвольной формы по безмоментной теории


Download 1.35 Mb.
bet6/8
Sana17.06.2023
Hajmi1.35 Mb.
#1535017
TuriГлава
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
1-2

§ 2. Расчет оболочки произвольной формы по безмоментной теории
Для оболочки произвольной формы применяют криволинейные ортогональные координаты а и р (рис. 77). Бесконечно малые дуги dsx и ds* на криволинейной поверхности можно рассматривать как прямые. В теории поверхностей их называют линейными элементами. Длины линейных элементов пропорциональны дифференциалам неза­висимых переменных:
Коэффициенты пропорциональности А и В представляют собой коэффициенты искажения, преобразующие приращения криволиней­ных координат в линейные от-



Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах состав­ляет

или с учетом зависимостей (а)

(б)

Выражение (б) называется первой квадратичной формой поверх­ности, а величины А и В — коэффициентами первой квадратичной формы.
Для исследования внутренних усилий выделим из срединной по­верхности оболочки линиями а = const, а + da = const, р = const и р + dp = const бесконечно малый элемент CDFE (рис. 78). В ко­ординатах а и р он имеет форму ортогонального криволинейного че­тырехугольника со сторонами

Углы (1фх и d(p2 соответствуют криволинейным сторонам четырех­угольника Л da и В dp и расположены в двух взаимно перпендикуляр­ных главных нормальных плоскостях, проходящих через точку С, Согласно рисунку, эти углы подчиняются формулам

Углы d^x и di|)2 лежат в касательной плоскости и образованы направ­лениями смежных касательных к линиям кривизн, проходящих че­рез точки С, D и Е. Для этих углов получаем

В случае безмоментного напряженного состояния на гранях рассматриваемого элемента действуют отнесенные к единице длины сечения оболочки нормальные JVlf N2 и сдвигающие 5ь S2 усилия, являющиеся функциями координат a и р. Эти усилия изображены на рис. 79. Поверхностная нагрузка показана в виде составляющих интенсивности нагрузки Х>(, У%, Zv по осям подвижной ортогональной системы координат хуг с началом в
точке С.

Рассмотрим условия равновесия элемента CDFE. Сумма проекций всех сил на ось Сх

Приведем подобные члены и отбросим стоящие в квадратных скоб­ках величины высшего порядка малости:


Аналогично получаем еще два уравнения равновесия, проецируя все силы на оси Су и Сz:
Из уравнения моментов относительно оси Cz получаем соотношение
S1 = S2 = S,
называемое законом парности сдвигающих усилий. С его учетом диф­ференциальные уравнения равновесия безмоментной теории оболочек можно представить в таком виде:



Уравнения (10.1) представляют собой полную систему основных уравнений безмоментной теории оболочек, выведенную в линиях глав­ных кривизн срединной поверхности оболочки. Число неизвестных функций N1, N2 и S соответствует числу уравнений, т. е. при расчете по безмоментной теории оболочка в бесконечно малом представляет собой статически определимую систему.
Решение системы уравнений (10.1) относится к статической зада­че безмоментной теории оболочек. Чтобы найти деформации и переме­щения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометриче­ские и физические уравнения. Здесь ограничиваемся исследованием только статической стороны задачи и рассмотрим основные уравнения для двух частных случаев.
Сферическая оболочка. В этом случае главные ра­диусы кривизны одинаковы:

Заменяя координату а на <р, а р на 0, согласно рис. 80 получаем
следующие значения длин линейных элементов:

Сравнивая соотношения (з) и (а), заключаем, что коэффициенты
первой квадратичной формы принимают вид

Download 1.35 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling