Ix вариационные методы решения задач по теории изгиба пластинок

А = R, В = R sinф
и уравнения (10.1) преобразуются в следующие:


Осесимметричное нагружение сферической оболочки. В этом случае усилия не зависят от угла 0 и все про­изводные по 0 обращаются в нуль. Кроме того, сдвигающие усилия

S = 0. Действительно, в силу симметрии в любом меридиональном сечении слева и справа должны существовать одинаковые сдвигающие усилия, направленные в одну сторону. Это противоречит условиям равновесия и возможно лишь при S = 0. Из уравнений (10.2) остают­ся только два:

В связи с определенностью направления главных кривизн усилия в сферической оболочке имеют следующие названия: N_x — меридио­нальное усилие (его направление совпадает с направлением меридиа­нов на сфере), N₂ — кольцевое усилие.
Рассмотрим решение системы уравнений (10.3) на примере сфери­ческого купола, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q на единицу площади горизонтальной про­екции оболочки (рис. 81). Согласно этому рисунку, составляющие по­верхностной нагрузки таковы:


Решение этой системы уравнений дает

Эпюры меридиональных и кольцевых усилий по высоте купола изображены на рис. 82. Сжимающее кольцевое усилие имеет макси­мально е абсолютное значение в вершине купола при ср = 0. По мере





продвижения вниз кольцевое усилие уменьшается и при ф = 45° равно нулю. Далее оно становится растягивающим и возрастает. Меридиональное усилие остается постоянно сжимающим.
Для определения горизонтальной составляющей меридионального усилия рассмотрим рис. 81, откуда

На нижнем краю купола при ф = ф₀ возникает горизонтальная составляющая реакции

для восприятия которой купол ставят на опорное кольцо. Реакция создает в кольце растягивающие усилия. Значение этих усилий опре­делим из рассмотрения равновесия половины опорного кольца (рис. 83). Проецируя все силы на вертикальную ось, получаем

откуда после интегрирования искомое усилие

или с учетом формул (з) и (и)

Наибольшего значения растягивающее усилие в опорном кольце достигает при угле <р₀ = 45°. Если <р₀ = 90°, то усилие становится равным нулю и необходимость в опорном кольце отпадает.