Javoblar chiziqsiz programmalashtirish

10.5. Lagranj ko`paytuvchilari usuli

Faraz qilaylik, quyidagi shartli minimum masalasi qaralayotgan bo`lsin:
f  X   min (10.5.1) g<sub>i</sub> X  0, i <sub></sub>1 ,m X, <sub></sub>R<sup>n</sup>. (10.5.2)
Lagranj ko`paytuvchilari deb ataladigan yordamchi
  ₀, _{ }   ₀, ₁,..., _m , m_1- o`lchovli vektor yordamida tuzilgan ushbu

F X ,  ₀ f X ₁g₁ X ..._mg_m X 
funksiya Lagranj funksiyasi deb ataladi.
Teorema. Agar (10.5.1), (10.5.2) masalada X ⁰ joiz nuqta shartli nisbiy minimum nuqta bo`lsa, shunday birortasi noldan farqli bo`lgan  ₀, ₁,..., _m sonlar topiladiki, shu nuqta Lagranj funksiyasi uchun statsionar nuqta bo`ladi, ya’ni
F X 0,  0. (10.5.3)
x<sub>j</sub>
Isbot . Agar (9.5.3) ni yoyib yozsak, u quyidagi ko`rinishni oladi:

0 f X 0  1 g1 X 0  ...m  gm X 0   0.
x_j x_j x_j
Bu esa ushbu
f X 0 , g1 X 0  gm X 0  (10.5.4)
, ... ,
x_j x_j x_j
m+1 ta vektorning chiziqli bog`lik ekanligini anglatadi. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni (10.5.4) vektorlar chiziqli erkli bo`lsin. Quyidagi tenglamalar sistemasini qaraylik:
f X  f X ⁰   0,
g1 X  0, (10.5.5)
X
Bu tenglamaning o`ng tomonidan iborat vektor-funksiyani G X ,<sub></sub> deb belgilasak, (10.5.5) ni G X ,<sub></sub>  0 ko`rinishda ifodalash mumkin. Bu tenglamada ( X ⁰ ,0) nuqta atrofida oshkor bo`lmagan funksiyaning mavjudlik shartlari bajariladi:
1) G X <sup>0</sup> ,0  0,
G X <sup>0</sup> ,0 <sub></sub>f X <sup>0</sup>  g<sub>1</sub> X <sup>0</sup>  g<sub>m</sub> X <sup>0</sup> <sub></sub>
2) det  , , ... ,   0.
xj  xj xj xj 
Demak, <sub> 0</sub> atrofida m+1 o`lchovli (deylik, dastlabki m+1 o`zgaruvchiga nisbatan) X <sub></sub> X  funksiya mavjud. Buni
x<sub>m2</sub>   x<sub>m</sub><sup>0</sup><sub>2</sub> , ... ,x<sub>n</sub><sup>0</sup>   X<sub>n</sub><sup>0</sup> lar bilan n o`lchovli qilib to`ldirsak:

x_i  x_i , i 1,n
funksiyaga ega bo`lamiz va _{ 0} atrofida funksiya (10.5.5) tenglikni qanoatlantiradi:
f X   f X ⁰
g₁X   0

Jumladan, _ 0 uchun, X _ X  joiz nuqtada
f X   f X ⁰ 
ga ega bo`lamiz. Bu esa X<sup>0</sup> ni nisbiy minimum deyilishga zid. Teorema isbotlandi.
Izoh. Qaralayotgan masalada noma’lumlar soni n+m+1 ta bo`lib ( x₁, ... ,x_n; _{  0}, ₁, ... , _m ), ularni aniqlash uchun Lagranj ko`paytuvchilar usuli n+m ta tenglikdan iborat bo`lgan munosabatlarni beradi:

^_^{F X , } _ 0, j _ 1 ,n, g_i X  0, i _1 , m^_. Demak bu usul yordamida
 x_j   
umuman olganda, nomalumlarni bir qiymatli topib bo`lmaydi. Biroq Lagranj ko`paytuvchilar qoidasining asosini ifodalovchi (10.5.3) tenglik
 ₀, ₁, ... , _m ko`paytuvchilarga nisbatan bir jinsli bo`lgani uchun, agar _0  ₀ bo`lsa, barcha tengliklarni <sub>0</sub> ga bo`lib,
1, ₁,..., _m
kabi ko`paytuvchilarga ega bo`lishga imkon beradi. Natijada, bunday ko`paytuvchilar uchun Lagranj funksiyasi
F X ,  f  X  <sub>1</sub>g<sub>1</sub>  X  ...<sub>m</sub> g<sub>m</sub>  X 
kabi ko`rinishga ega bo`ladi, bu yerda <sub> </sub>  <sub>1</sub>,..., <sub>m</sub>  . Ta’kidlash lozimki, har doim ham <sub>0</sub>  <sub>0</sub> deb olib bo`lavermaydi.
Fikrimizning isboti sifatida bir misol keltiraylik.
Misol.
f X   x₁  x₂²  min,
3 ₂
g X   x₁  x₂  0
bo`lsin. Bu masalaning yechimi (0, 0) nuqtadan iborat ekanligi ravshan. Biroq, bu nuqtada
F x <sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,   x<sub>1</sub>  x<sub>2</sub><sup>2</sup> x<sub>1</sub><sup>3</sup>  x<sub>2</sub><sup>2</sup> 
funksiya uchun Lagranj ko`paytuvchilar qoidasi o`rinli emas:

Bu esa qachon _0  ₀ deb olish mumkinligini o`rganish zarurligini taqazo etadi.