Javoblar chiziqsiz programmalashtirish

f (X 0  hj )  f (X 0)  0, h  0 (10.2.4) h
(10.2.3) va (10.2.4) tengsizliklardan h _{ }0 da va h _{ }0 da limitga o`tib, mos ravishda <sup>f (X0)</sup> <sub></sub> 0 va <sup>f (X0)</sup> <sub></sub> 0 tengsizliklarni hosil qilish
x<sub>j</sub> x<sub>j</sub>
mumkin.
Bulardan esa
<sup>f (X0)</sup> <sub></sub> 0, j <sub></sub> 1 , n (10.2.5)
x<sub>j</sub>
tenglamalar sistemasi hosil bo`ladi. Xuddi shunday yo`l bilan X<sub>0</sub> nuqta f (X) funksiyaga lokal minimum beruvchi nuqta bo`lgan holda ham, (10.2.5) o`rinli ekanligini ko`rsatish mumkin. (10.2.5) tengliklar X₀ nuqtada f (X) funksiya lokal maksimum yoki minimumga ega bo`lsa, shu nuqtada undan n ta x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,,x<sub>n</sub> noma’lumlar bo`yicha olingan xususiy hosilalar 0 ga teng bo`lishi kerakligini ko`rsatadi. Lekin bunda (10.2.1) shartni qanoatlantiruvchi har qanday nuqta ham funksiyaga lokal minimum yoki maksimum qiymat beradi degan xulosa kelib chiqmaydi. Masalan, f (X) funksiya uchun f _(X) _ 0 shart egilish nuqtasida o`rinli bo`lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo`lmasligi mumkin. Xuddi shuningdek, ikki argumentli f (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ) funksiya uchun <sup>f</sup> <sub></sub> 0, <sup>f</sup> <sub></sub> 0
x<sub>1</sub> x<sub>2</sub>
shartlar egar nuqtada ham bajarilib, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo`lmasligi mumkin.
(10.2.1) sistemaning yechimlarini statsionar nuqtalar deb ataymiz. Berilgan f (X) funksiya ekstremumga erishadigan nuqta statsionar nuqta bo`ladi, lekin har qanday statsionar nuqtada ham funksiya ekstremumga erishavermaydi.
Demak, (10.2.1) shart funksiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart, lekin u yetarli shart emas. Quyidagi teorema statsionar nuqtaning birinchi va ikkinchi tartibli hususiy hosilalari uzluksiz bo`lgan n o`zgaruvchili uzluksiz f (X) <sub></sub> f (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,, x<sub>n</sub> ) funksiyaning ekstremal nuqtasi bo`lishi uchun yetarlilik shartini ko`rsatadi.