К вопросу математического моделирования процессов солепереноса в почве грунтах с учетом конвективного переноса

3. Автомодельное и приближенно автомодельное решение задачи
Отдельно рассматриваем два случая. Займемся построением автомодельных и приближенно автомодельных уравнений для (1)-(2). Исследование свойств решений, которых, значительно проще чем исследование свойств решений исходного уравнения. Для этой цели воспользуемся методом нелинейного расщепления предложенного в [3-4].
Случай I .
Лемма 1. Пусть и рассмотрим задачу Коши (1)-(2) в . Уравнение (1) имеет автомодельное решение следующего вида
, , где (3)
здесь , , и функция
(4)
в удовлетворяет автомодельную уравнению
(5)
где -константа, а (4) является верхним решением задачи (1)-(2), если , .
Доказательство. В самом деле, вычислим Тогда с учетом (3),(4),(5) имеем в области
где . Из теоремы сравнения решений легко подсчитать, что в . Лемма доказана.
Случай II. Для получения решении на стационарный случай в уравнении (1) сделаем замену

(6)
Для исследований последнего уравнения пользуемся теоремой Харди.
Теорема 2. (Харди). Пусть функция из класса Харди. Тогда для достаточно больших справедливо асимптотическое представление
Подставляя это представление в (6) имеем
и интегрируем

(7)
(7) является решением задачи (1)-(2) при .


4. Разностные схемы для решения двумерных уравнений солепереноса
Для приближенного решения задачи (1)-(2) построим разностную сетку И временную сетку
Заменим задачу (1)-(2), с применением метода баланса, неявной разностной схемой и получим разностную задачу с погрешностью :
(8)
Здесь или
Для решения системы нелинейных уравнений применяем различные итерационные методы и получим:
(9)
Теперь разностная схема (9) относительно стала линейна [5].
Вводим следующие обозначения:
, , ,
Для численного решения системы уравнений (7) применяем метод прогонки [5].
В ходе численного решения задачи (1)-(2) для случаев одномерного
и двумерного проведены вычислительные эксперименты. Приводится
несколько результатов численного эксперимента.

Рис.1. Распространение солевого потока в начальный и конечный моменты времени для значения, когда начальный момент времени .

Рис.2. Коэффициент диффузии повышается.