Kasr maxrajini algebraik irratsionallikdan qutqarish. Uchinchi darajali tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilish shartlari
Download 0.78 Mb. Pdf ko'rish
|
8-Maruza (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Uchunchi darajali tenglamani kvadrat radikallarda yechilish shartlari..
- Kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalarga doir misollar
- O’tilgan mavzuni mustahkamlashga doir savol va misollar
|
8- ma’ruza Kasr maxrajini algebraik irratsionallikdan qutqarish. Uchinchi darajali tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilish shartlari Dars rejasi 1.Kasr maxrajini algebraik irratsionallikdan qutqarish tushunchasi 2.Tenglamani kvadrat radikallarda yechish tushunchasi. 3.Kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalar: a)kubni ikkilash masalasi; b)berilgan burchakni teng uch bo’lakka bo’lish masalasi; c) birlik doiraga muntazam yettiburchaklini yasash masalasi. 4. Natural sonlar uchun muntazam -burchaklini sirkul va chizg’ich yordamida yasash masalasi to’g’risida.
shunday umumiy bo’luvchisi ( ) dan iboratki, u bu ko’phadlarning ixtiyoriy umumiy bo’luvchisiga bo’linadi va ( ) ( ( ) ( )) bilan belgilangan edi. ( ) ni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ko’rinishda ifodalash mumkin ekanligini ham aytgan edik, bunda ( ) ( )- qandaydir ko’phadlar. Bunday ifodalashni har xil usullarda bajarish mumkin edi. ( )ni yuqoridagidek tasvirlash mumkinligi quyidagi masalani yechishda ishlatiladi. Ratsional koeffisiyentli ( ) va ( ) ko’phadlar berilgan bo’lsin. ( )ham ratsional koeffisiyentli ko’phad bo’lib u ( ) bilan o’zaro tub, va sonu ( ) ko’phadning ildizi bo’lsin.Quyidagi masalani qaraymiz:
( ) ( )
( ) shartni qanoatlantiruvchi ratsional koeffisiyentli ( ) ko’phadni topish talab etiladi. Qo’yilgan masalani yechish uchun ( ( ) ( )) ni (1) ko’rinishda tasvirlaymiz va ( ) sifatida ( ) ( ) ko’phadni olamiz.(yoki bu ko’phadning ( ) ga bo’lgandagi qoldiqni olamiz).Buni quyidagi misolda qarab chiqamiz. Misol.Quyidagi √
√
√
ifoda maxrajidagi irratsionallikni yo’qoting . Yechilishi.Bunda √
( ) ( ) -2x+2,
( )
( ( ) ( )) ( )( -0,1) + ( )(
) ya’ni ( ) ( ) ( ( ) ( )
(
) ( )
deb olamiz va quyidagiga ega bo’lamiz: √
√
√
√ √
.
2-usul. Bu usulda simmetrik ko’phadlardan foydalaniladi (simmetrik ko’phadlar haqida 11-ma’ruzani qarang). Uchunchi darajali tenglamani kvadrat radikallarda yechilish shartlari.. Ta’rif.Agarda
+
tenglamaning ildizlarini quyidagi ikkihadli tenglamalarning ildizlari
( √
)
( √
)
..............................................................
( √
)
orqali ratsional ko’rinishda ifodalash (ya’ni yig’indi, ayirma, ko’paytma va bo’linma amallari yordamida ) mumkin bo’lsa, u holda tenglama kvadrat radikallarda yechiladi deyiladi. Teorema.Ratsional koeffisiyentli uchinchi darajali tenglama
(1) kvadrat radikallarda yechilishi uchun u kamida bitta ratsional ildizga ega bo’lishi zarur va yetarli. Kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalarga doir misollar. Geometriyada ratsional koeffisiyentli
tenglamaning ildizlarini sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin bo’lishi uchun bu tenglamani kvadrat radikallarda yechilishi mumkin bo’lishi,ya’ni bu tenglamani yechishni kvadrat tenglamalarni ketma-ket yechishga keltirish mumkin bo’lishligii zarur va yetarli ekanligi ma’lum. K u b n i i k k i iiiiii l a s h to’g’risidagii masala:Hajmi berilgan kubning hajmidan ikki marta katta bo’lgan kubning qirralarini topish masalasi. Bizga berilgan kubning qirrasini ifodalovchi kesma berilgan bo’lsin.Bu kesmani birlik kesma sifatida qabul qilamiz. U holda izlanayotgan kubning qirrasi quyidagi tenglamani qanoatlantiradi:
Bu tenglamani kvadrat radikallarda yechib bo’lmaydi,chunki u ratsional ildizlarga ega emas.Demak, yuqoridagi tenglamaning ildizlarini sirkul va chizg’ich orqali yasab bo’lmaydi. B u r c h a k n i t r i s e k s i y a s i to’g’risidagi masala.Berilgan burchakni teng uch bo’lakka bo’lish. nuqtadan chiquvchi va burchak tashkil qiluvchi ikkita nur berilgan bo’lsin. Radiusi birga teng aylananing yoyini chizamiz. Shunday nuqtani topamizki, kesma uzunlikka ega bo’lsin. Aksincha: uzunligi ga teng bo’lgan kesmani bilgan holda sirkul va chizg’ich yordamida burchakni yasash mumkin.Shuning uchun izlanayotgan burchak
(
)
(
) bo’lganligidan
(
) va
bo’lganligidan
(1) bo’ladi.
bo’lganda bo’ladi.Demak,(1) tenglama kvadrat radikallarda yechiladi.
bo’lsa,u holda
bo’lib
(2) tenglamani hosil qilamiz. Bunda deb olib
(3) tenglamaga ega bo’lamiz. (3) tenglama va, demak (2) tenglama kvadrat radikallarda yechilmaydi, chunki u ratsional ildizlarga ega emas. Bundan bu tenglamalarning ildizlarini sirkul va chizg’ich yordamida yasab bo’lmaydi. Shunday qilib,
burchakni sirkul va chizg’ich yordamida teng uch bo’lakka bo’lish mumkin emas. M u n t a z a m y e t t i b u r c h a k l i n i y a s a s h haqidagi masala.
Birlik doiraga muntazam yettiburchaklini yasash.
tenglamaning ildizlari tekislikda birlik doiraga ichki chizilgan muntazam yettiburchaklini uchlari bilan tasvirlanadi. Bu tenglama ildizlaridan biri birga teng, qolganlari ushbu tenglamani
(1) qanoatlantiradi.(1) tenglama kvadrat radikallarda yechilmasligini isbotlaymiz. (1) tenglamaning ikki tomonini
ga bo’lamiz va ularni gruppalaymiz (
) (
) (
) (
) Unda
(2) deb olib
(3) hosil qilamiz.(3) tenglama kvadrat radikallarda yechilmaydi, chunki u ratsional ildizlarga ega emas. Haqiqatdan ham, agar (1) tenglama kvadrat radikallarda yechilganda edi,u holda (2) ga ko’ra (3) tenglama ham kvadrat radikallarda yechilgan bo’lar edi.Demak, (1) tenglamaning ildizlarini sirkul va chizg’ich yordamida yasab bo’lmaydi. Bundan muntazam yettiburchaklini sirkul va chizg’ch yordamida yasab bo’lmasligi kelib chiqadi. Qanday natural ( ) larda muntazam -burchaklini sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin.
Bu masala 1796 yilda Gauss tomonidan to’liq yechildi. Gauss bunday qurish mumkinligi faqatgina ni
ko’rinishda tasvirlash mumkin bo’lgandagina bajarishini isbotladi, bunda -natural son,
lar
( * +) ko’rinishdagi har xil tub sonlar.
Yuqoridagi mavzular bo’yicha barcha ma’lumotlarni R.N.Nazarov,B.T.Toshpo’latov,A.D.Do’sumbetovlarning “Algebra va sonlar nazariyasi” darsligidan o’qib olishingiz mumkin.
1. 1.Kasr maxrajini algebraik irratsionallikdan qutqarish tushunchasini bering. 2.Tenglamani kvadrat radikallarda yechish tushunchasini bering. 3.Kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalarni keltiring. 4.Qanday natural sonlar uchun muntazam -burchaklini sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin? 5.
ko’phad ratsional sonlar maydoni ustida keltirib bo’lmasligini isbotlang. 6.Ikki o’zgaruvchining
ko’phadi ratsional sonlar maydoni ustida keltirib bo’lmasligini ko’rsating. Kompleks sonlar maydoni ustida bu ko’phad keltiriladimi? 7.
tenglama kvadrat radikallarda yechilishini isbotlang. 8.Muntazam beshburchakni sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkinligini isbotlang. 9. Muntazam to’qqizburchaklini sirkul va chizg’ich yordamida yasab bo’lmasligini isbotlang.
Download 0.78 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|