Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari

1.3.1.-Teorema Abel tenglamasi da da yechimga ga bo‘lishi uchun quyidagilarning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.

Agar ushbu shartlar bajarilsa tenglama formula bilan aniqlanganyagona yechimga ega bo‘ladi.
Isbot. Zaruriyligi, tenglama da yechilsin. U vaqtda yuqoridagi mulohazalar o‘rinli va tenglik o‘rinli bo‘ladi:

(1.3.5.) da tenglama da yechiladi degani ni anglatadi.
Shunday qilib oxirgi tenglik funksiya Lebeg bo‘yicha yig’indi funksiyadan olingan integral ko‘rinishida ifodalanadi.
,bunda

Zaruriylik sharti isbotlandi.
Yetarlilik. va dan (1.3.1) tenglama da yechimga ega ekanligini isbotlaymiz. Absolyut va uzluksiz funksiyalar deyarli barcha yerda yig’indi hosilaga ega, ya’ni bo‘lganligi uchun
= .
Shu sababli
= (x)
mavjud va ga tegishli.
= (x) funksiya (1.3.1) ning yechimi ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun uni (1.3.1) ning chap qismiga qo‘yib quyidagini olamiz:
(1.3.7)
Deyarli barcha yerda ekanligini ko‘ramiz. (1.3.7) tenglik nisbatan Abel tenglamasi. Uning yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
= = .
va funksiyalar uzluksiz. Birinchisi mulohazaga asosan, ikkinchisi quyidagi tenglikka asosan
,
(1.3.7) tenglikni yechish jarayonida olingan. Bundan kelib chiqadi
= .
Shuning uchun va
= -
Oxirgi tenglik Abel tenglamasi. Yechimning yagonaligiga asosan

Yetarlilik sharti isbotlandi.
Abel tenglamasi yechimga ega bo‘lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar (x) yordamchi funksiya terminlarida teoremada keltiriladi. Ushbu shartlarni f(x) terminlarida quyidagi lemma yordamida keltirib chiqaramiz.
1.3.1.-Lemma. Agar , bunda . bo‘lsa u vaqtda
(x) = + ] (1.3.8)
Isbot: bo‘lganligi sababli uni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin . ning bu ko‘rinishini uchun bo‘lgan ifodaga etib qo‘yib quyidagini hosil qilamiz

+ (1.3.9)
(1.3.9) dagi birinchi qo‘shiluvchi absolyut uzluksiz funksiya chunki
quyidagi integral ko‘rinishida ifodalanadi
.
quyidagi tenglik o‘rinli bo‘lganligi uchun (1.3.9) formuladagi ikkinchi qo‘shiluvchi ham yig’indiga ega bo‘lgan funksiyaning boshlang’ichi va u absolyut integrallovchi, bu yerda
= ]dt,
almashtirish bajarilgan edi.
Shunday qilib, (1.3.9) tenglikni davom ettirib oxirgi integralda integrallash taribini o‘zgartirib,talab etilgan quyidagi tenglikni olamiz.
Lemma isbotlandi.
Agar bo‘lsa u vaqtda (1.3.2) Abel tenglamasi 0 < da yechimga ega bunda (1.3.4) yechimni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin
[ ]
Isbot.
Haqqatdan shartlarning bajarilishi 1-lemmaga va quyidagi formulaga asosan kelib chiqadi
)
tenglik o‘rinli bo‘lganligi uchun formula ni differensiallash natijasida hosil qilinadi:
(x)= +
.
Natija isbotlandi.
Teoremaga mos ravishda (1.3.5) tenglama faqat va faqat o‘ng qismlar uchun va shart bajariladigan [a,b] sinfda yechimga ega. Bu yerda
, .
tenglamaning yechimini ga o‘xshash bo‘lgan hol uchun quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin
.