Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari

1.3.2.-Teorema. va A ([a,b]), . U holda deyarli hamma joyda mavjud bo‘lib, ularni quyidagicha ifodalash umkin
)= +
Isbot. A , keyin quyidagicha isbotlaymiz.
)= =
[ + 𝜑(y) ]=
= +
+
Biz integralni hisoblaymiz, almashtirish bajaramiz:
dτ=

integralga avval biz Dirixle formulasini qo‘llaymiz va keyin t=y+τ(x-y) almashtirish yordamida ichki integralni hisoblaymiz.



Shuning uchun ) uchun bizda bo‘ladi




………..
( )… =
= = ,
,
…………………………
)= .
…….. va
)= + =
= .
Teorema isbotlandi.
1.3.4.-Lemma. . Abelning bir xil bo‘lmagan integral tenglamasi va har qanday uchun shunchaki arzimas yechim (deyarli hamma joyda ) bor.
Isbot. belgilaymiz, avvalambor ., ni marta differensiallab ni olamiz. Bu yerda va teorema 5 ga asosan bo‘ladi. Agar bo‘lsa =0 ni marta differensiallab degan xulosaga kelamiz.
Quyidagi misolni ko‘ramiz. f , funksiyaning kasr hosilasini topaylik.
=
almashtirish bajarib quyidagini olamiz.
)=
= = =
=
Shunday qilib,
= (1.3.27)
f(x)= , funksiyaning kasr integrali quyidagi ko‘rinishga ega
= (1.3.28)
Bu sohadagi ko‘plab tadqiqotlar Riman-Liuvill kasr tartibli differensial tenglama

(1.3.30)
bu yerda
Chiziqli bo‘lmagan kast tartibli differensial tenglamalar
) haqiqiy oqning intervalida

shaklida bo‘ladi.

ni anglash qiyin emas.
Riman-Livel kasr tartibli differensial tenglamani yechishda quyidagi formulalardan foydalanamiz, bu formulalar 1.3.29 formula asosida kelib chiqqan.





Ba’zan misollarni yechishda Mettag-Lebbir funksiyaning Laplas almashtirishiga ehtiyoj tug’iladi.
O‘ramaning laplas almashirish qoidasiga muofiq,


{

Endi ba’zi kasr tartibli diffensial tenglamalarga doir formulalarni keltiramiz, ularning barchasi (1.3.30) formula asosida hisoblanadi, kelib chiqadi.





Differnsial tenglamalar yechishning usullaridan beri bu laplas almashtirish usulidir.