Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari

= =
Integrallashuv tartibini joyini almashtirish Fubini teoremasi yordami bilan asoslangan.
Isbotlash tugadi.
1.3.2.-Lemma Kasrli integral operator , da ga:
≤ (1.3.18)
Isbot. Dirixle formulasini qo‘llab hosil qilamiz
= dx= ≤
≤
=
Lemma isbotlandi.
Riman-Liuvill kasr tartibli hosilasining aniqlanishi.
1.3.2. Tarif kesmada berilgan funksiya uchun quyidagi formulalar
(1.3.19)
= , 0< (1.3.20)
Riman-Liuvillning tartibli kasr hosilasini ifodalaydi va bu hosilalar mos ravishda chap tomonli (1.3.19)ga va o‘ng tomonli (1.3.20)ga deb aytiladi.
Belgilab qo‘yamiz kasr integrallar aniqlangan har qanday tartibi uchun,kasrli hosilalar esa hozircha faqat 0< tartibi uchun
tartibining kasrli hosilalarini aniqlashdan oldin, kasrli hosilalarning mavjudligining oddiy yetarli belgisini beramiz.
1.3.3.-Lemma. Agar bo‘lsa unda funksiyani qariyb hamma yerda va shu bilan birga
va hosilalarga ega bo‘ladi va ularni quyidagi ko‘rinishda tasvirlash mumkin
= ]
= [
Isbot. va formulalar lemma 1 ning natijasidan hosil bo‘ladi. integralga aylanadi. Bizda bor
=
[ + ]= [ +
+ ]= [ ]
va funksiyalar [a,b] segmentda ajralmas, | | ,
uchun haqli ravishda 0 , shuning uchuno‘rtacha qiymat teoremasi bo‘yicha bunday M son mavjud va
0 , =M .
Bizda bor
dx= [
chunki f(x) anglatadi
bo‘lishini.
Lemma isbotlandi.
Biz tartibning kasrli hosilalariga o‘tamiz. Biz quyidagilardan foydalanamiz:
ning butun qismi, { } ning kasr qismi. Ta’rif bo‘yicha 0 1 va
{ }.
Agar butun son bo‘lsa ning kasr tartibli hosilasi oddiy farqlashni anglatadi:
, ,
Agar nobutun son bo‘lsa va larni quyidagicha aniqlaymiz
)= )=
)
1.3.3.-Ta’rif. uchun
)=
)=
, va formulalar mos ravishda.
Riman-Liuvillning kasr tartibli o‘ng va chap hosilasi deb nomlanadi.
(1.3.23) va (1.3.24) hosilalarning mavjudligi uchun yetarli shart shundan iboratki integral sinfga tegishli. Ushbu shartni qanoatlantirish uchun