Kasr tartibli integral va Kasr tartibli differensiallar. Ularning asosiy xossalari

Riman-Liuvillning kasr tartibli integrallarining ta’rifi. Endi biz Riman-Liuvillning kasriy integralining ta’rifini bir karrali integral tushunchasidan kelib chiqib kiritamiz.
n karrali integral uchun formula ma’lum
dx = (1.3.11)
uni matematik induksiya metodi yordamida isbotlaymiz.
n=1 bo‘lganda (1.3.11) tenglik yaqqol aniq :

n=k bo‘lganda (1.3.11) aniq deb olamiz (hisoblaymiz):
dx = (1.3.12)
bu yerda chap qismda k-karrali integral
bo‘lganda (1.3.11) tenglikni isbotlaymiz
=
(1.3.2) tenglik bizda bor
=
Dirixle formulasi bo‘yicha integrallash tartibini o‘zgartiramiz va ichki integralni topamiz, isbotlash talab qilingan narsani olamiz

=
f(x)= + (1.3.13)
formula (1.3.11) ni (1.3.13) ko‘rinishda ifodalab olamiz


< = , =
ekanligidan (1.3.11) ning o‘ng qismi ning nobutun qiymatlarida ham ma’noga ega. Shuning uchun nobutun tartibli integralni quyidagi tarzda aniqlashimiz mumkin.
1.3.1. Ta’rif.
, (1.3.15)
, (1.3.16)
da mos ravishda va formulalarga Riman-Liuvillning chap tomonli va o‘ng tomonli kasr tartibli integrallari deyiladi.
Є funksiya uchun aniqlangan va kasr tartibli integrallar va Abel tenglamasining chap qismlari bilan mos keladi, va ular deyarli hamma yerda mavjud.
Kasr integrallar uchun quyidagi tenglik o‘rinli
= (1.3.17)
(1.3.17) formulani isbotlaymiz.

Direxle formulasi bo‘yicha integrallash tartibini o‘zgartiramiz va bundan so‘ng ichki integralda almashtirish bajarib quyidagini hosil qilamiz

=