Катта сонлар конуни. Катта сонлар конунининг назарий ва амалий ахамияти. Эхтимоллар назариясининг лимит теоремалари

Характеристик функциялар хакида тушунча.
Характеристик функцияларнинг асосий хоссалари. Марказий лимит теорема.
Фараз килайлик, Х ва У тасодифий узгарувчилар булсин. Z=X+iY -ни комплекс тасодифий узгарувчи дейилади, бу ерда i-мавхумлик бирлиги булиб i= , i²=-1 a+ib=Mx+iMy. Z-нинг математик кутилмаси MZ=a+ib булади. Z₁ ва Z₂ комплекс тасодифий узгарувчиларнинг купайтмаси Z₁ Z₂=(х_iх₂-у_iу₂)+i(х₁х₂-у₂у₁), агар
Z₁= х₁+ i у₁ ва Z₂= х₂+ i у₂ булсалар.
Математик кутилишнинг хакикий тасодифий узгарувчилар учун уринли булган хоссалари комплекс сонли тасодифий узгарувчилар учун уринли булиб колади. Масалан Z_к (к=1,2,...,n) комплекс сонли тасодифий узгарувчилар булса М(Z₁+Z₂+...+Z_n)= М(Z₁)+M(Z₂)+...+M(Z_n) ва М(СZ)=СМZ булади ва ундан ташкари:

1. 
   Агар Х₁,Х₂,...,Х_n эркли тасодифий узгарувчилар. f₁,f₂,...,f_n- комплекс таосдифий узгарувчиларни ифодаловчи функциялари булса,
   

М f₁(х₁),f₂(х₂),,...,f_k(х_n) (1)
булади, агар |М f_k(х_n)|< 1kn уринли булса.
2. Агар М|Z|< булса, |МZ| М|Z| (2) булади.
Таъриф. Х хакикий тасодифий узгарувчи булса, унинг характеристик функцияси деб Z =e^itX (i= ва -х(t) билан белгиласак:
_х(t)= МZ= М e^itX (3)
Масалан 1) агар Х- дискрет хакикий тасодифий узгарувчи булиб,
Таксимот конунига эга булса, унинг характеристик функцияси
_х(t)= e^itXР_к (4)
булади.

2. 
   Агар Х узлуксиз тасодифий узгарувчи булиб f(x) -<х< даги зичлик функцияси булса, унда
   

_х(t)= (5)
булади.
Х тасодифий узгарувчининг характеристик функцияси _х(t), t=0 , _х(0)=1 ва |_х(t)|1 барча -х(t) t нинг
(-,) даги кийматлари учун текис узликсиз функция.
Агар Z, r-нчи тартибли моментга эга булса, яъни М|Х|^r - мавжуд булса, унда _х(t), r-нчи тартибли хосилага эга ва
^(r)_х(0)=2^rM(X^r) (6)
булади.
Агар Х₁,Х₂,...,Х_n -эркли тасодифий узгарувчилар булса унда
 (t)=  (t)  (t)_... (t) (7)
булади.
Яъни мавжуд ва f(x) Х нинг зичлик функцияси булса
f(x)= (8)
булади.
Мисоллар:
1. Х биномиал конуни билан таксимланган. Характеристик функцияси _х(t) топилсин
_х(t)=е^it0(1-p)+ е^it1p= 1-p+ е^itp=1+p( е^it-1) (9)

2. 
   Х бернулли конуни билан таксимланган _х(t)- характеристик функцияси топилсин.
   

Маълумки Р_к=Р(Х=к)=С^k_n р^k(1-p)^n-k , k=0,1,2,...,n
Унда _х(t)= e^itkР_к= e^itk C^k_n р^к (1-p)^n-k=
= C^k_n (e^it)^k(1-p)^n-k=(1-p+p e^it)ⁿ=[1+p(e^it-1)]ⁿ (10)
Бу натижага (7) формула, характеристик функциянинг хоссасидан фойдаланиб юзага келтириш мумкин эди. Сабаб Бернулли конуни билан таксимланган тасодифий узгарувчи n-та Бином конуни билан таксимланган тасодифий узгарувчиларнинг йигиндисидан иборатдир, яъни
Х=х₁+х₂+...+х_n (11)
Маълумки Бернулли конунида Х n-та эркли текширишда А ходисанинг юзага келиш сони, Бином конунида эса Х_к -к-нчи текширишда А ни юзага келиш сонини белгилайди.
Шу сабабли (7) формулани эсласак
_х(t)= _х(t) _х(t)... _х(t)=[1+p(e^it-1)]ⁿ булади.

3. 
   Х параметрли Пуассон конуни билан:
   

Р(Х=n)= , n=0,1,2,... таксимланган. _х(t) топилсин.

булади

_х(t)=е^[(eit-1)] (13)

4. 
   Х тасодифий узгарувчи (а,в) оралигида текис таксимланган. ахв учун Х нинг зичлик функцияси
   

f(x,y)= (14)
х-колган кийматларида f(x)=0, Х- характеристик функцияси _х(t)=

5. 
   Х -<х< ораликда N(0,1) параметрлар билан нормал таксимланган; яъни зичлик функцияси -<х< учун f(x)= га тенг. _х(t)-топилсин _х(t)=
   

-комплекс сохадаги интеграл булиб исботлаш мумкин у -га тенг булади. Унда
_х(t)= (15)
булади.


А с о с и й а д а б и ё т л а р :
1. Бульдык Г.М. “ Теория вероятностей и математическая статистика”, Киев, 1989.
2.Вентцель, Овчаров. “Теория вероятностейи ее инженерные приложения”.
3.Колемаев В.А. и др. «Теория вероятностей и математическая статистика”, 1991.