Kirish. Chiziqli funksional va uning geometrik ma’nosi. II. Asosiy qism

3. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi
Bizga chiziqli fazoda aniqlangan, nolmas chiziqli funksional berilgan bo‘lsin.
4-ta'rif. funksional uchun shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to‘plami uning yadrosi deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Endi chiziqli funksional yadrosining xossalarini keltiramiz.
1. to‘plam ning qism fazosi bo‘ladi.
Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy sonlar uchun

tenglik o‘rinli.
2. qism fazoning koo‘lchami birga teng.
Haqiqatan ham, ga qarashli bo‘lmagan, ya'ni bo‘ladigan qandaydir elementni olamiz. Bunday element mavjud, chunki (aynan nolga teng emas). Umumiylikni chegaralamasdan hisoblashimiz mumkinki, (aks holda biz ni olgan bo‘lar edik, chunki ). Ixtiyoriy element uchun desak, u holda
,
ya'ni . Qaralayotgan element ko‘rinishda tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir. Haqiqatan ham,
va
bo‘lsin. U holda

tenglik o‘rinli. Agar bo‘lsa, ekanligi ko‘rinib turibdi. Agar bo‘lsa, u holda

ekanligi kelib chiqadi. Bu esa shartga zid. Bu qarama-qarshilik tasdiqni isbotlaydi.
Bu yerdan kelib chiqadiki, ikkita va elementlar qism fazo bo‘yicha bitta qo‘shni sinfda yotishi uchun shartning bajarilishi yetarli va zarur. Haqiqatan ham,

tenglikdan

tenglik kelib chiqadi. Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, bo‘lishi uchun bo‘lishi yetarli va zarur.
qism fazo bo‘yicha har qanday sinf o‘zining ixtiyoriy vakili bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bunday vakil sifatida ko‘rinishdagi elementni olish mumkin. Bu yerdan ko‘rinadiki, qism fazoning o‘lchami birga teng ekan, ya'ni ning koo‘lchami birga teng.
3. Chiziqli funksionalning yadrosi o‘zida nolga aylanadigan funksionalni o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida bir qiymatli aniqlaydi.
Haqiqatan ham, va funksionallar yadrolari teng bo‘lsin, ya'ni . U holda uchun elementni shunday tanlaymizki, bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, . Ixtiyoriy uchun

tengliklarga egamiz. Agar bo‘lsa, bo‘lar edi. tenglikdan va funksionallarning proporsional ekanligi kelib chiqadi.
Koo‘lchami birga teng bo‘lgan ixtiyoriy qism fazo berilgan bo‘lsin. U holda shunday chiziqli funksional mavjudki, bo‘ladi. Buning uchun qism fazoda yotmaydigan ixtiyoriy elementni olamiz va ixtiyoriy elementni ko‘rinishda yozamiz. Bunday yoyilma yagona. tenglik yordamida aniqlanuvchi chiziqli funksionalning yadrosi bo‘ladi.
chiziqli fazoda koo‘lchami birga teng bo‘lgan qandaydir qism fazo berilgan bo‘lsin. U holda fazoning qism fazo bo‘yicha har qanday qo‘shni sinfi qism fazoga parallel bo‘lgan gipertekislik deyiladi (xususan, qism fazoning o‘zi elementni saqlovchi, ya'ni "koordinata boshidan o‘tuvchi" gipertekislik hisoblanadi).
Boshqacha aytganda, qism fazoga parallel bo‘lgan gipertekislik - bu qism fazoni qandaydir vektorga parallel ko‘chirishdan paydo bo‘ladigan to‘plam, ya'ni
.
Ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, bo‘ladi, agarda bo‘lsa, u holda .
Agar - chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksional bo‘lsa, to‘plam qism fazoga parallel gipertekislik bo‘ladi. Haqiqatan ham, bo‘ladigan elementni tanlab, ixtiyoriy elementni ko‘rinishda yozishimiz mumkin.
Ikkinchi tomondan, agar - koo‘lchami birga teng bo‘lgan qism fazoga parallel va koordinata boshidan o‘tmaydigan gipertekislik bo‘lsa, u holda shunday yagona chiziqli funksional mavjudki,

bo‘ladi. Haqiqatan ham, bo‘lsin. U holda har qanday element yagona ravishda ko‘rinishda tasvirlanadi. tenglik yordamida aniqlanadigan chiziqli funksional izlanayotgan funksional bo‘ladi. Uning yagonaligi quyidagidan kelib chiqadi:
Agar da bo‘lsa, u holda da bo‘ladi. Bundan

tenglik kelib chiqadi.
Shunday qilib, chiziqli fazoda aniqlangan noldan farqli barcha chiziqli funksionallar bilan koordinata boshidan o‘tmaydigan dagi barcha gipertekisliklar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatildi.