Qavariq funksionallar
Qavariq to‘plam tushunchasi qavariq funksional tushunchasi bilan uzviy bog‘langan.
8-ta'rif. Agar haqiqiy chiziqli fazoda aniqlangan manfiymas funksional
1) ,
2)
shartlarni qanoatlantirsa, ga qavariq funksional deyiladi.
Biz bu yerda miqdorni chekli deb faraz qilmaymiz, ya'ni ayrim lar uchun ham bo‘lishi mumkin. Agar barcha lar uchun chekli bo‘lsa, chekli funksional deyiladi.
Misollar. 4. va
akslantirishning chekli qavariq funksional ekanligini isbotlang.
Yechish. Integralning monotonlik xossasidan, ixtiyoriy uchun ekanligi kelib chiqadi. Endi bizga fazoning ixtiyoriy va elementlari berilgan bo‘lsin. U holda
tengsizlik o‘rinli. Xuddi shunday ixtiyoriy va uchun
tenglik o‘rinli. Demak, qavariq funksional ekan. Uning chekli qavariq funksional ekanligi tengsizlikdan kelib chiqadi.
5. va
akslantirish chekli bo‘lmagan qavariq funksional bo‘lishligini isbotlang.
Yechish. funksionalning manfiymasligi va qavariq funksional ta'rifidagi 1-2 shartlarning bajarilishi funksiya to‘la o‘zgarishi xossalaridan kelib chiqadi. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi fanidan ma'lumki, fazoning elementi uchun tenglik o‘rinli. Demak, chekli bo‘lmagan qavariq funksional ekan.
Qavariq to‘plamlar bilan qavariq funksionallar orasidagi bog‘lanish
Endi qavariq to‘plamlar bilan qavariq funksionallar orasidagi bog‘lanishni qaraymiz.
2-teorema. Agar qavariq funksional va bo‘lsa, u holda
qavariq to‘plam bo‘ladi. Agar funksional chekli bo‘lsa, u holda to‘plam yadrosi nol elementni saqlaydigan,
yadroli qavariq jism bo‘ladi.
Isbot. Agar va bo‘lsa, u holda
,
ya'ni - qavariq to‘plam. Endi chekli funksional, va bo‘lsin. U holda
Agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun bo‘ladi. Agar sonlardan hech bo‘lmaganda birortasi noldan farqli bo‘lsa, u holda
shartda bo‘ladi. Qavariq funksionalning nuqtadagi qiymati nolga teng bo‘lgani uchun .
Endi holni qaraymiz. U holda har qanday chekli qavariq funksional da bo‘ladigan yagona
qavariq jismni aniqlaydi. Aksincha, - yadrosi nol elementni saqlaydigan qavariq jism bo‘lsin. U holda har bir ga
sonni mos qo‘yuvchi akslantirish qavariq funksional bo‘ladi. Bu funksional qavariq jism uchun Minkovskiy funksionali deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
