Kirish. Chiziqli funksional va uning geometrik ma’nosi. II. Asosiy qism

Xan- Banax teoremasi tadbiqiga misollar
1. uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosi ni qaraymiz. qism fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

chiziqli fazoda va funksionallarni esa quyidagicha aniqlaymiz:

Quyidagicha savol qo‘yamiz.
1) funksional (1) tengsizlikni qanoatlantiradimi?
2) funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladimi?
3) qanday tanlanganda funksional Xan-Banax teoremasining shartlarini qanoatlantiradi?
Yechish. funksional (1) tengsizlikni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham,
.
Agar , u holda
bo‘ladi. Shuning uchun, barcha larda tenglik o‘rinli. Demak, barcha lar uchun funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladi. Nihoyat,

tengsizlik,

shartni qanoatlantiruvchi barcha larda o‘rinli. Demak, bo‘lsa, Xan-Banax teoremasining shartlari bajariladi. Shunday qilib funksionalni (1) shartni saqlagan holda cheksiz ko‘p (kontinuum) usul bilan fazogacha davom ettirish mumkin ekan.
Xan- Banax teoremasining kompleks varianti
Endi Xan-Banax teoremasining kompleks variantini isbot qilamiz.
10-ta'rif. - kompleks chiziqli fazo va unda aniqlangan manfiymas funksional berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun
va
shartlar bajarilsa, u holda - qavariq funksional deyiladi.
4-teorema. (Xan-Banax). - kompleks chiziqli fazoda aniqlangan qavariq funksional, esa qism fazoda aniqlangan va bu qism fazoda

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional bo‘lsin. U holda butun da aniqlangan va

shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional mavjud.
Isbot. va fazolarni haqiqiy chiziqli fazo sifatida qarab, mos ravishda va bilan belgilaymiz. Tushunarliki, funksional da aniqlangan qavariq funksional bo‘ladi, esa

shartni, bundan esa shartni qanoatlantiruvchi dagi haqiqiy chiziqli funksional bo‘ladi.3-teoremaga ko‘ra, da aniqlangan va
,

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional mavjud. Tushunarliki,
.
Demak,
(4)
Endi funksionalni da quyidagicha aniqlaymiz
.
Murakkab bo‘lmagan hisoblashlar yordamida ko‘rsatish mumkinki, - kompleks chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksional bo‘ladi hamda

Ixtiyoriy uchun ekanligini ko‘rsatsak, teorema isbot bo‘ladi. Teskaridan faraz qilamiz. Qandaydir uchun bo‘lsin. kompleks sonni ko‘rinishda yozamiz va deb olamiz. U holda
.
Bu esa (4) shartga zid.