Кириш диссертация мавзусининг долзарблиги ва зарурати

Π (а) = 1 + а + а⁴ = 0, ёки а⁴ = 1 + а. (2.17)
бунда
а⁵ =а+а², а⁶ =а²+а³;
1+а+а⁴+а⁶ = 1+а+1+а+а²+а³ = а²+а³. (2.18)
Бу кўпайтмани 1+а+а⁴ га бўлиш ва бўлинишнинг қолган қисмини топишга тенгдир:

(2.19)
Шундай қилиб, сонлар ва рақамларнинг кетма-кетлигидан (кўпликлардан) бир майдонни шакллантиришда ўхшашлик мавжуд. Ушбу ўхшашлик жорий мултипликацион операцияни қайтариш учун

(m узунликлари кетма-кетликлари кўринишидаги элементлар тизими ёки m даражадан кўп даражали полиномлар майдон ҳосил қилади) кўпайтирилган П(а) кўпайтмалар коеффициентлари соҳаси бўйича ўзгартириб бўлмайдиган бўлиши керак. GF(p) модул бўйича, m (даража) нинг келтирилмайдиган р(х) кўпҳад томонидан ҳосил бўлган майдон m даражасининг GF(p) ёки келтирилтирилган майдонга кенгайиши дейилади. Унда p^m элементлари мавжуд ва GF(p^m) билан белгиланади.
Узунлиги ўн олтита иккилик кетма-кетлик билан ҳосил қилинган 4, ёки 3 кўпҳад даражаси кўп бўлмаган коэффициентлар GF(2) модулидан олинган х⁴+х+1 кўп функцияли, GF(2)дан келтирилмаган, кенгайтирилган GF(2⁴) майдонига мисол бўлиши мумкин. Чекланган майдонларнинг энг муҳим хусусияти қуйидагилардан иборат. Чегараланган майдоннинг барча нол элементлари тўплами айириш операцияси бўйича гуруҳ ҳосил қилади, яъни q-1 тартибли мултипликатив гуруҳ. Баъзи бир элемент томонидан ҳосил бўлган мултипликатив гуруҳ элементларининг тўпламини ва унинг барча а², а³ ва ҳоказо. Гуруҳ чекланган бўлгани учун такрорлаш пайдо бўлиши керак, яъни а ⁱ = а ^j. Ушбу тенгликни (а ⁱ) ^–1 = (а ^{- 1})ⁱ га кўпайтирсак, 1 = а ^{j - i} оламиз. Шунинг учун, баъзи а даража 1 га тенг.
а^е = 1 бўлган энг кичик мусбат ижобий сонга, а элементнинг тартиби дейилади. 1, а, а², ..., а^{е - 1} элементлар тўплами кичик гуруҳни ташкил қилади, чунки ҳар қандай иккита элементнинг маҳсулоти ушбу тўпламга тегишли ва а ^j тескари элемент а^{е- j} га тенг ва шу тўпламга киради. Белгиланган майдонларнинг кўриб чиқилишидан иккита муҳим натижа келиб чиқади. Улардан биринчиси, кўпхадли х^q-1-1 илдизлари барча q-1 майдоннинг нол бўлмаган элементлари GF (q), яъни
(2.20)
GF (q) майдонида e=q-1 тартибли элемент примитив дейилади. Бундан келиб чиқадики, ҳар қандай нол бўлмаган элемент GF(q) примитив элемент даражасидир. Кўриб чиқилган хусусиятнинг иккинчи нисбати шуни кўрсатадики, ҳар қандай чекланган GF(q) майдонида примитив элемент мавжуд, яъни GF(q) мултипликатив гуруҳи цикликдир. 2.1-жадвалда турли усулларда GF(2⁴) элементлари келтирилган [40,46,90,91].
2.1- жадвал
GF (2⁴) Галуа майдони элементлари.