Kirish dissertatsiya mavzusining dolzarbligi va zarurati

TO’LIQLIK VA YOPIQLIK
Faraz qilaylik, bizga - Bul funksiyalar sistemasi berilgan bo’lsin.
2.9- ta’rif. Agarda ixtiyoriy Bul funksiyasini B funksiyalar sistemasi ustida formula ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, B to’liq sistema deyiladi.
_{1-misol. P2 –barcha Bul funksiyalar to’plami – to’liq sistema bo’ladi.}
2-misol. - funksiyalar sistemasini to’liq sistema ekanligi ko’rsatildi.
Quyidagi teorema yordamida biz bir sistemaning to’liqligi masalasini ikkinchi sistemaning to’liqligiga keltirishimiz mumkin.
2.8-teorema. Agar va Bul funksiyalar sistemalaridan - to’liq sistema bo’lib, uning har bir funksiyasini ustida formula ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda funksiyalar sistemasi to’liqdir.
3-misol. - funksiyalar sistemasi to’liqligini 4.1-teoremaga asoslanib ko’rsatamiz. sifatida 2-misoldagi sistemani, sifatida esa 3-misoldagi sistemani qaraymiz va ayniyatdan foydalansak, sistemaning to’liqligi kelib chiqadi.
4-misol. - funksiyalar sistemasi to’liqdir. Bu sustemaning to’liqligi 3-misol kabi ko’rsatiladi.
5-misol. - funksiyalar sistemasi to’liqdir. Quyidagi ayniyatlarning o’rinli ekanligini ko’rsatish qiyin emas.

Demak 3-misoldagi sistemaning barcha funksiyalari bu sistema ustida formula ko’rinishida ifodalanadi.
6-misol. - funksiyalar sistemasi to’liqdir. Quyidagi ayniyatlarning o’rinli ekanlini ko’rsatish qiyin emas.
Demak 3-misoldagi sistemaning barcha funksiyalari bu sistema ustida formula ko’rinishida ifodalanadi.
Ixtiyoriy Bul funksiyasini funksiyalari yordamida formula ko’rinishida ifodalagandan keyin, qavslarni ochib chiqib, algebraik almashtirishlar bajarib, mod 2 bo’yicha ko’phad (Jegalkin ko’phadi) ko’rinishida ifodalanadi. Quyidagi teorema o’rinli.
2.9-teorema.(Jegalkin). Ixtiyoriy Bul funrsiyasi Jegalkin ko’phadi yordamida ifodalanishi mumkin, ya’ni uchun
, bu yerda .
Ushbu ko’phadda

ko’rinishidagi hadlar soni 1 dan n gacha bo’lgan natural sonlar to’plamining qism to’plamlari soniga, ya’ni ga teng. Ularning koeffitsiyentlari faqat 0 yoki 1 qiymat qabul qilgani uchun barcha n o’zgaruvchili Jegalkin ko’phadlarining soni ga, ya’ni barcha n o’zgaruvchili Bul funksiyalarining soniga teng. Bu esa Bul funksiyasini Jegalkin ko’phadi yordamida yagona ravishda ifodalanishini bildiradi.
2.10-ta’rif. Aytaylik bo’lsin. to’plamning funksiyalari yordamida formula ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lgan barcha funksiyalar to’plamiga to’plamning yopilmasi deyiladi. M to’plamning yopilmasi [M] kabi belgilanadi.
Misol:1) M=P₂ bo’lsa, ko’rinib turibdiki, [M]=P₂ bo’ladi.
2) bo’lsa, bu to’plamning yopilmasi barcha chiziqli funksiyalar sinfi L, ya’ni ko’rinishidagi funksiyalar sinfi bo’ladi.
2.11- ta’rif. Agarda M to’plamning yopilmasi o’ziga teng, yani [M]=M bo’lsa, M yopiq to’plam deyiladi.
Misol:1) M=P₂ sinf yopiq sinf bo’ladi.
2) sinf yopiq emas.
3) L sinf yopiq.