Klassik to’plamlar uchun quyidagi amallar kiritilgan

q-ayirish va q-bo’lishning mos analitik ifodalari quyidagi ko’rinishga ega [109,113]:
;
.
Berilgan ifodalarni soddalashtirib quyidagilarga ega bo’lamiz:


[113] da noravshan tenglamalarni yechish uchun oraliq sonlarni ayirishning qo’shimcha amali ko’rilgan, unga ko’ra
.
va oraliqlar uchun u quyidagi ifoda orqali kiritiladi:

va q-ayirish amali uchun mo’ljallangan shartda aniqlangan [12]. Bundan tashqari
ni isbotlash qiyin emas, demak
.
Ko’rilayotgan masalani tahlil qilishning berilgan bosqichida noravshan sonlarga nisbatan umumiy tamoyil asosida aniqlanadigan ayirish va bo’lish amallari ortiqcha bo’lib, ularning o’rniga q-ayirish va q-bo’lish amallaridan foydalanish zarur. Masalani sinchkovlik bilan o’rganish natijasida uning oraliq arifmetikada yechib bo’linganligiga guvoh bo’ldik [130]. Lekin bu yerda ixtiyoriy oraliq sonlar juftligi uchun aniqlangan q-ayirish va q-bo’lish amallari taklif etilgan. Masalan,
.
[11,12] va [130] dagi ta’riflar o’rtasidagi boglanish quyidagidan iborat. Agar [12] dagi ta’riflarga ko’ra natija mavjud bo’lsa, u holda u [130] ta’rifdan olish mumkin bo’lgan natija bilan ustma-ust tushadi. Agar [12] ta’rifga ko’ra natija olib bo’lmasa, u holda [130] ta’rif bo’yicha yuqorida qayd etilgan tenglamalarning “qanoatlantiruvchi” yechimlari hosil bo’ladi, aniqrog’i: berilgan holda X=B A, bu yerda q-ayirma [130] ta’rif bo’yicha bajariladi. U holda . Xuddi shunday, agar bo’lsa, u holda .
Noravshan to’plamlar nazariyasining katta bo’limi - yumshoq hisoblashlar (noravshan arifmetika) - noravshan sonlar ustidagi amallar majmuini kiritadi. Bu amallar segment tamoyil asosida tegishlilik funksiyalari ustidagi amallar orqali kiritiladi.
 tegishlilik darajasini tegishlilik funksiyasining ordinatasi ko’rinishida aniqlaymiz. U holda tegishlilik funksiyasining noravshan son bilan kesishishi ishonchlilik oralig’ining chegaralari deb ataluvchi qiymatlar juftligini beradi. Agar va bo’lsa, u holda A to’plamning sust -darajali F-to’plam deb
,
ga aytiladi, kuchli -darajali to’plam deb esa
.
ga aytiladi.
Darajali to’plamlar quyidagi xossalarga egadirlar:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   если .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   
7. 
   .
   
8. 
   .
   
9. 
   .
   
10. 
    .
    

 tegishlilik darajasini belgilab olib, ikkita va ravshan son bo’yicha ishonchlilik oraliqlari: [a₁, a₂] va [b₁, b₂] larni aniqlaymiz. U holda noravshan sonlar ustidagi asosiy amallar ularning ishonch oraliqlari ustidagi amallarga keltiriladi. Oraliqlar ustidagi amallar esa o’z navbatida haqiqiy sonlar-oraliqlar chegarasi ustidagi amallar orqali ifodalanadilar:

• 
  “qo’shish” amali:
  

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂],

• 
  “ayirish” amali:
  

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁],

• 
  “ko’paytirish” amali:
  

[a₁, a₂] () [b₁, b₂] = [a₁  b₁, a₂  b₂],

• 
  “bo’lish” amali:
  

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], “darajaga ko’tarish” amali:
[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ].
Trapesiyasimon sonlar ustida ushbu amallarni bajarish mumkinligi hisobiga bir qator muhim xulosalarga kelish mumkin:

• 
  Haqiqiy son uchburchaksimon noravshan sonning xususiy holidir;
  
• 
  Uchburchaksimon sonlarning yig’indisi uchburchaksimon sondir;
  
• 
  Uchburchaksimon(trapesiyasimon) sonning haqiqiy songa ko’paytmasi uchburchaksimon (trapesiyasimon) son bo’ladi;
  
• 
  Trapesiyasimon sonlarning yig’indisi trapesiyasimon sondir;
  
• 
  Uchburchaksimon va trapesiyasimon sonlarning yig’indisi trapesiyasimon sondir.
  

Noravshan sonlar ustidagi nochiziqli amallarning xossalarini tahlil etish natijasida tadqiqotchilar natijaviy noravshan sonlar tegishlilik funksiyasining ko’rinishi ko’p hollarda uchburchaksimonga yaqin bo’lishi to’g’risidagi xulosaga keladilar. Bu natijani uchburchaksimon ko’rinishga keltirish orqali approksimasiyalashga imkon beradi. Agar keltirish yo’li yaqqol ko’rinib tursa, u holda uchburchaksimon sonlar ustidagi amallar tegishlilik funksiyalari uchlarining absissalari ustidagi amallarga keltiriladi.
Ya’ni, agar biz uchburchaksimon sonni (a, b, c) uchlarning absissalari majmui ko’rinishida kiritsak, u holda:
(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂)  (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂)
yozuv o’rinli bo’ladi. Bu - yumshoq hisoblashlarning eng mashhur qoidasidir.