Klassik to’plamlar uchun quyidagi amallar kiritilgan

1.2.2. Noravshan sonlar ustidagi amallar

Oraliq (interval) tahlil tushunchasining noravshan to’plamlar nazariyasida tutgan ahamiyati bois, uning asosiy tushuncha hamda usullarini keltirib o’tamiz [99,118].

Oraliq sonlar. R barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. [a,b] oraliq deganda ( ), boshqa izohlar keltirilmagan bo’lsa, quyidagi ko’rinishdagi R ning berk chegaralangan qism to’plami tushuniladi [13,38,143]:
.
Barcha oraliqlar to’plamini I(R) bilan belgilaymiz. I(R) ning elementlarini kichik harflar bilan belgilaymiz. Agar A - I(R) ning elementi bo’lsa ( ), u holda uning chap va o’ng uchlarini ko’rinishda belgilaymiz. ning elementlarini oraliq sonlar deb ataymiz [43,130,132].
va h.k belgilari odatiy nazariy-to’plamli ma’noda tushuniladi, jumladan qat’iy qamrovni anglatishi shart emas, ya’ni munosabatda oraliqlar teng bo’lishi mumkin. A va B oraliqlar faqat va faqat bo’lganda teng hisoblanadi.
oraliqda tartib munosabati quyidagicha aniqlanadi: bo’lgandagina А< В bo’ladi. Kiritish bo’yicha ham tartiblash mumkin: A oraliq B oraliqdan bo’lganda katta bo’lmaydi. Asosan biz birinchi ta’rifdan foydalanamiz.
А va В oraliqlarning kesishmasi A yoki B bo’lganda bo’sh bo’ladi, aks holda –yana oraliq hosil bo’ladi.
Ta’rifga ko’ra EMBED Equation.3 oraliq munosabat bajarilganda simmetrik bo’ladi.
A oraliqning kengligi deb kattalikka aytiladi.
- o’rta A oraliq uchlari yig’indisining yarmidir : .
Absolyut kattalik quyidagi ko’rinishda aniqlanadi: .
Va nihoyat, , . da , va da .
elementlar o’rtasidagi masofa
tenglik orqali kiritiladi.
Birlik oraliq, ya’ni uchlari ustma-ust tushgan oraliq a songa tengdir. Demak .
Standart oraliqli arifmetika. Oraliqli sonlar ustidagi amallar quyidagicha aniqlanadi[122,142]. bo’lsin, . U holda
, (1.2.1)
jumladan bo’lishda .
(1.2.1) ta’rif quyidagi munosabatlarga ekvivalent
, (1.2.2)
, (1.2.3)
, (1.2.4)
. (1.2.5)
Ayirish amalini qo’shish hamda ko’paytirish orqali ifodalsh mumkin, bunda va .
sonlarning ishorasiga qarab oraliq ko’paytirishga oid (1.2.4) qoida quyidagi ko’rinishlarga kiradi ( deb olgan holda):
1. : ;
2. : ;
3. : ;
4. : ;
5. : ;
6. : ;

7. 
   : ;
   
8. 
   : ;
   

9. : .
Bu yerdan ko’rinib turibdiki, faqatgina bitta holda (oxirgisida) ko’paytmani topish uchun to’rt marta ko’paytirishga to’g’ri keladi, qolgan hollarda esa ikki marta ko’paytirish yetarli.
Agar A va B- birlik oraliq bo’lsa, u holda (1.2.2)–(1.2.5) tengliklar haqiqiy sonlar ustidagi oddiy arifmaetik amallar bilan bir xil bo’ladi. Shunday qilib oraliq son haqiqiy sonning, oraliq arifmetika esa - haqiqiyning umumiyroq ko’rinishidir.
(1.2.1) ta’rifdan ko’rinib turibdiki, oraliq yig’indi va ko’paytma assosiativ va kommutativ, boshqa so’z bilan aytganda larga nisbatan quyidagi tengliklar o’rinli:
A+(B+C)=(A+B)+C, A+B=B+A,
,
Nol va bir vazifasini oddiy 0 va 1 sonlari o’taydilar, chunki yuqorida qayd etilganidek ular [0,0] va [1,1] oraliqlarga tengdirlar. Boshqa so’z bilan aytganda ixtiyoriy uchun
, .
Kelgusida ko’paytirishni anglatuvchi nuqtani yozmaymiz.
(1.2.1) tenglik ((1.2.2)-(1.2.5) kabi) operandlardan biri birlik oraliq bo’lsa, u holda arifmetik amalning natijasi ham birlik oraliq bo’lishini bildiradi. 0=[0,0] ga ko’paytirish bundan mustasnodir. Bu yerdan kelib chiqadiki, A birlik oraliqda qo’shish va ko’paytirishga nisbatan teskari elementlar mavjud emas, chunki, agar А + В = 0, АС = 1, u holda А, В, С yuqorida aytilganlarga muvofiq birlik bo’lishlari shart. Qisqa qilib aytganda, ayirish qo’shishga, bo’lish ko’paytirishga nisbatan teskari emas. Demak bo’lganda . Lekin .
Ma’lumki, oraliqli arifmetik amallarning ta’rifiga ko’ra , , bu yerda . Shuning uchun, oraliqlarni ayirish va bo’lishdan foydalanib, sodda A+X=B, A*X=B oraliqli tenglamalarni, demak shu kabi noravshan tenglamalarni yechib bo’lmaydi [89].
Berilgan tenglamalarni (ular asosida yanada murakkabroqlarini) yechish zarurati noravshan va oraliqli sonlar uchun qo’shimcha ayirish va bo’lish amallarini kiritish zaruratini uyg’otdi [11,12]. q-ayirish (--) va q-bo’lish (//) amallariga [11,12] da shunday ta’rif berilganki, X=B- -A (yoki X=B//A) tenglikni bajarishda A+X=B (yoki A*X=B) tenglik o’rinli bo’ladi. Bunda q-ayirish amali kamayuvchi oraliqning uzunligi ayriluvchi oraliqdan kichik bo’lmagandagina o’rinli bo’ladi. B//A q-bo’lish amali ham oraliqdagi barcha sonlarga nisbatan aniqlanmagan (masalan, agar B>0, A>0, u holda B//A shart bajarilgandagina aniqlangan).