1-masala. Biror oqimning harakat tenglamalari sistemasi quyidagicha berilgan bo‘lsin: x=a+Ut; y=b; z=c. Harakatning xarakterini va uning barcha kinematik parametrlarini aniqlang. Yechish

1-masala. Biror oqimning harakat tenglamalari sistemasi quyidagicha berilgan bo‘lsin:
x=a+Ut ; y=b ; z=c .
Harakatning xarakterini va uning barcha kinematik parametrlarini aniqlang.
Yechish: Sistema berilishiga ko‘ra ixtiyoriy zarrachaning y va z koordinatalari t vaqtga bog‘liq emas, shuning uchun berilgan harakat Ox o‘qiga parallel. Boshqacha aytganda ixtiyoriy zarrachaning trayektoriyasi Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqdan iborat.
Harakat Lagranj o‘zgaruvchilarida berilgan. Tezlik vektorining proeksiyalarini topaylik:
.
To‘la tezlik: .
Harakatning yo‘nalishi yo‘naltiruvchi kosinuslar bilan aniqlanadi:
.
Bu yerdan . Demak, harakat Ox o‘qiga parallel ekan.
Tezlanishning tashkil etuvchilarini topaylik:
.
Shunday qilib, harakat tekis ekan.
Bu masala juda ham sodda bo‘lib, uning berilishidanoq yuqoridagi xulosalarni chiqarish mumkin edi. Bu yerda masalani yechishning ketma-ketligini ko‘rsatish maqsadidagina hisoblashlar keltirildi.


2-masala. Suyuqlikning harakati tezliklari proeksiyalari bilan Eyler o‘zgaruvchilarida quyidagicha berilgan:
,
bunda m, n, k, l - o‘zgarmas miqdorlar. Eyler o‘zgaruvchilaridan Lagranj o‘zgaruvchilariga o‘ting va bu yangi o‘zgaruvchilarda traektoriya tenglamasini toping.
Yechish: Masalaning shartiga ko‘ra ushbu
, (1)
(2)
differensial tenglamalarni integrallaymiz.
(1) ni integrallashda
(3)
deb belgilash qabul qilamiz. U holda
. (4)
(4) ni (1) ga qo‘yib quyidagini topamiz:
. (5)
u(t) va v(t) funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlash mumkinligidan foydalanib, u(t) funksiyani shunday tanlaymizki,
(6)
bo‘lsin. Bunga mos ravishda
. (7)
(6) tenglamaning yechimi quyidagicha:
. (8)
(8) ni (7) ga qo‘yib, ushbu
(9)
tenglamani hosil qilamiz. Buni integrallab esa quyidagi yechimga kelamiz:
. (10)
(8) va (10) ni (3) ga qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
. (11)
Xuddi shunday, (2) ni integrallab, quyidagi yechimni topamiz :
. (12)
C₃ , C₄ – o‘zgarmaslarni t = 0 deb faraz qilib, boshlangich shartlardan topamiz, ya’ni
; . (13)
Lagranj usuliga ko‘ra traektoriyasi bo‘ylab harakati o‘rganilayotgan suyuqlik zarrachasining koordinatalari t=0 da ma’lum bo‘lishi kerak. Bu koordinatalarni ; deb tanlaylik. U holda (13) asosida C₃ = 0, C₄ = 0 ekanligidan, izlanayotgan traektoriya uchun quyidagi parametrik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
; .
Bulardan t vaqtni chiqarib tashlasak, quyidagi to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi traektoriya tenglamasiga kelamiz :
.