Kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorzmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti

3)O‘zgartirilgan Nyuton metodi.
Agar f(x) hosilaning qiymatini ko‘p marta hisoblashdan qutilmoqchi bo‘lsalar, unda formuladan foydalanadilar.
Bu metod boshlang‘ich yaqinlashishga uncha ko‘p talab qo‘ymaydi, lekin u sekin, faqat birinchi tartibli yaqinlashadi. (10) – metod bo‘lganda nolga bo‘lish sodir bo‘lmasligiga kafolat beradi.
4)Kesuvchilar metodi
Bu metod Nyuton metodidan f '(xk) ni chekli ayirma bilan almashtirishdan hosil bo‘ladi.
Natijada ikki qadamli iteratsion metod hosil bo‘ladi. (9) - metodda oldin ikkita boshlang‘ich x0 , x1 yaqinlashishlarni berishga to‘g‘ri keladi. Bu metodning geometrik talqini quyidagidan iborat: (xk-1,xk) oraliqda y=f(x) funksiya grafigi (xk-1 , f(xk-1)) va (xk, f(xk)) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bilan almashtirilib uning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasi keyingi yaqinlashish sifatida olinadi.


4)Interpolyasiya metodi.
Interpolyasiya metodlarining asosiy g‘oyasi f(x) funksiyani bu funksiyaning interpolyasion ko‘phadi bilan almashtirib bu interpolyasion ko‘phad ildizlarini aniqlashdan iborat. Birinchi tartibli interpolyasion metod, bu kesuvchilar metodidan iborat. Ikkinchi tartibli interpolyasion metod parabolalar metodi deb aytiladi. Nyuton metodi ermit interpolyasion metodidan kelib chiqadi.
Parabolalar metodining formulalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun xk-2,xk-1,xk yaqinlashishlarni aniqlab Nyutonning ikkinchi tartibli interpolyasion
P2(x)=f(x)+(x-xk)f(xk,xk-1)+(x-xk)(x-xk-1)f(xk,xk-1,xk-2),
ko‘phadini quramiz. zk = x-xk deb belgilab
az2+bz+c=0, (10)
bu erda
a=f(xk,xk-1,xk-2), b=f(xk,xk-1)+(xk-xk-1)f(xk,xk-1,xk-2), c=f(xk) tenglamani hosil qilamiz. (10)- tenglamani z1 va z2 ildizlarini topib x(1)=xk+z1 , x(2)=xk+z2 qiymatlarini hosil qilamiz. Keyingi yaqinlashish sifatida x(1) , x(2) lardan xk ga yaqin bo‘lganini olamiz. Parabola metodi kompleks ildizlarni topish uchun qulaydir.

5)Teskari interpolyasiyadan foydalanish
f(x) ga teskari bo‘lgan x=(y) funksiyani interpolyasiyalash bilan bir qancha iteratsion metodlarni hosil qilish mumkin.
Agar x* , f(x)=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa , (0) =x* bo‘ladi. SHunday kilib x* ildizni topish (0) qiymatni topishga olib kelinadi. Faraz qilamiz x* ildizga x0,x1,...,xk yaqinlashishlar ma’lum bo‘lsinlar. Unda yi = f(xi) , i=0,1,...,k qiymatlarni hisoblash mumkin va y0 ,y1 ,...,yk tugun nuqtalar (qiymatlar) berilgan deb hisoblash mumkin.
Ulardan x0=(y0),x1=(y1) ,..., xk=(yk) ma’lum bo‘ladi. (yi,(yi)), i=0,1,2,...,k nuqtalar bilan Lk(y) interpolyasion ko‘pxad quriladi va xk+1 yaqinlashish sifatida Lk(0) olinadi. CHiziqli teskari interpolyasiya (k=1) kesuvchilar metodiga olib keladi. (k=2) kvadratik teskari interpolyasiya parabola metodidan farq qiluvchi metodga olib keladi. YUqorida bayon qilingan iteratsion metodlar berilgan boshlang‘ich yaqinlashishlarda faqat birta ildizni topishga imkon beradilar. Boshqa ildizlarni topish uchun boshqa boshlang‘ich berilganlar tanlash lozim.

6)Oddiy iteratsiya metodining yaqinlashishi.
f(x)=0 (1)
tenglamani ekvivalent
x=S(x) (2)
ko‘rinishda yozamiz va x0 dastlabki yaqinlashishni tanlab olib
xk+1=S(xk), k=0,1,… (3)
oddiy iteratsiyani qaraymiz. (3)-iteratsiya yaqinlashadi deb aytiladi, agar {xk} ketma-ketlik k, limitga ega bo‘lsa. Quyidagi teoremada (2)-tenglamaning echimi mavjudligi va yagonaligiga kafolat beruvchi shartlar bayon qilinadi.
Agar to‘plamning ixtiyoriy x , x nuqtalari uchun
tengsizlik bajarilsa S(x) funksiya to‘plamda Lipщits shartini qanoatlantirdi deb aytiladi (yoki lipщits uzluksiz). Kelajakda x lar to‘plami sifatida
Ur(a) = (5) markazi a- da bo‘lgan uzunligi 2r ga teng kesma qaraladi.


Teorema. Agar S(x) Ur(a) kesmada q(0,1) o‘zgarmasli lipщits uzluksiz bo‘lib, bajarilsa, unda (2)- tenglama Ur(a) da yagona x* echimga ega bo‘lib, (3)-iteratsion ketma-ketlik ixtiyoriy x0Ur(a) uchun x* ga yaqinlashadi.
Xatolik uchun (tengsizlik) baho o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Eng avval xkUr(a) k=1,2,.. ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilamiz xjUr(a) bo‘lsin, xj+1Ur(a) ekanligini isbot qilamiz.
tenglikdan
ekanligi ma’lum bo‘ladi.
Bundan lipщits - uzluksizlikni, induksiya farazini va (6)- ni inobatga olib
ya’ni xj+1Ur(a) ekanligini hosil qilamiz.
Endi ikki qo‘shni xj+1 va xj yaqinlashishlar orasidagi farqni baholaymiz.
va barcha xj lar Ur(a) dan bo‘lganligi uchun
yoki
tengsizlik hosil bo‘ladi.
(8)- baho {xk} ketma-ketlikni fundamental ekanligini ko‘rsatishga imkon beradi. Haqiqatdan ham p ixtieriy natural son bo‘lsin.
Unda bu tengsizlikdan k , o‘ng tomoni nolga intiladigan bo‘lganligi uchun va p- ga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun {xk} ning fundamentalligi kelib chiqadi.
Demak (3)- da limitga o‘tib va S(x) funksiyaning uzluksizligini hisobga olib
x*=S(x*)
ekanligiga, ya’ni x* ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Faraz qilamiz x* (2)- ning Ur(a)- ga tegishli boshqa biror bir ildizi bo‘lsin. Unda
|x*-x*'|=|S(x*)-S(x*')|
va teoremaning shartiga ko‘ra
|x*-x*'| q|x*-x*'|.
Bunda q<1 bo‘lganligi uchun, oxirgi tengsizlik x* = x*' bo‘lgandagina bajariladi, ya’ni echim birdan-bir ekanligi kelib chiqadi.
(7)- tengsizlikni isbot qilamiz.
(3)- munosabatdan
xk+1 - x* = S(xk) - S(x*)
xk va x*Ur(a)
bo‘lganligi uchun
|xk+1-x*| q|xk-x*|
hosil bo‘ladi. Bu tengsizlik barcha k=0,1,2,... uchun bajariladi.
SHuning uchun
1-Izoh. Agar biror bir iteratsion metod uchun bajarilsa, bunda qM1 k-ga bog‘liqmas bo‘lsa, unda iteratsion metod chiziqli q maxrajli geometrik progressiya tezligida yaqinlashadi deb aytiladi.
2-Izoh. (9) - da k- ni tanlab olib p- ni cheksizga intiltiramiz,
unda hosil bo‘ladi. Bu tengsizlikning o‘ng tomonida x1 va x0 yaqinlashishlar turadi, q-ma’lum son. SHu sababli bu tengsizlikdan iteratsiya jarayonini to‘xtatish uchun foydalanish qulaydir.
1-Natija: Agar barchaxUr(a) uchun
(12)
bajarilib, (6) -shart o‘rinli bo‘lsa va x0Ur(a) bo‘lsa, (2)- tenglama birdan bir x*Ur(a) echimga ega, (3)- metod yaqinlashadi va (7)- baho o‘rinlidir.
Haqiqatdan ham ,(12)-dan

2- Natija. Faraz qilamiz (2)- tenglama x*- echimga ega bo‘lsin, S(x) funksiya
Ur(x*) = {x : |x-x*| r} (13)
kesmada uzluksiz differensiallanuvchi va |S'(x*)|<1 bo‘lsin. Unda shunday  0 mavjudki Ur(x*) kesmada (2)- tenglama boshqa ildizga ega bo‘lmaydi va faqat x0Ur(x*) bo‘lganda (3)- metod yaqinlashadi.
8)Nyuton metodining yaqinlashishi.
Oddiy haqiqiy ildiz. Faraz qilamiz
f(x)=0 (1)
tenglama oddiy haqiqiy x* ildizga ega bo‘lsin, f(x*)=0 va f'(x*) 0
bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) funksiya x* ildizning etarlicha yaqin atrofida ikki marta uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.
(2)
Nyuton metodini tadqiq etamiz. Eng avval (2)- ni oddiy iteratsiya metodining xususiy holi sifatida qaraymiz:
Agar x*, f(x) ning ildizi bo‘lsa, unda S(x*)=0 bo‘ladi. SHu sababli ildizning shunday atrofi borki (5) - tengsizlik bajariladi. Demak x0 boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlab olish mumkinki Nyuton metodi yaqinlashadi. Bu yaqinlashish oddiy yaqinlashish bo‘lmasdan u aslida kvadratik yaqinlashishdir.
Quyidagi teorema Nyuton metodining kvadratik yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatadi.
1-teorema. Faraz qilamiz x* (1)-tenglamaning oddiy haqiqiy ildizi bo‘lib
Ur(x*)={x : |x-x*|atrofda bo‘lsin. Faraz qilamiz f(x) , Ur(x*) atrofda uzluksiz