Комплекс сонлар. Комплекс сонларнинг тенглиги. Комплекс сонлар устида амаллар

8–. Безу теоремаси ва унинг баъзи бир алгебраик тенгламаларни ечишга тадбиқи.

1–теорема (Безу теоремаси). га нисбатан бутун

, (1)
кўпҳадни айирмага бўлганда (бунда – ихтиёрий сон) қоладиган қолдиқ бўлувчининг бўлганда оладиган қиймати га тенг, яъни
.
Исбот. кўпҳад нинг камайиб борувчи даражаларига нисбатан тартибга солинган даражали кўпҳад бўлиб, уни га бўлганда бўлинмада , қолдиқда эса қолсин, яъни

Бунда га нисбатан даражали кўпҳад бўлиб, эса га боғлиқ бўлмаган ўзгармас сон бўлади.
Бўлинувчи, бўлувчи ва бўлинма кўпайтмалари билан қолдиқ йиғиндисига тенг бўлгани учун:
.
Бу тенглик нинг ҳар қандай қийматида ҳам ўринли бўлгани сабабли бўлганда ҳам ўринли бўлади. У ҳолда

ёки .
Демак, қолдиқ берилган кўпҳаднинг бўлгандан қийматига тенг бўлар экан.
1–натижа. га нисбатан бутун кўпҳад (1) га қолдиқсиз бўлинса, бу кўпҳаднинг илдизи бўлади.
2–натижа. Агар га нисбатан бутун кўпҳад (1) нинг илдизи бўлса, бу кўпҳад га бўлинади.
1–мисол. кўпҳадни иккиҳадга бўлганда қоладиган қолдиқни топинг.
Ечиш. Берилган кўпҳадга ўрнига ни қуямиз. У ҳолда:
. .
2–мисол. кўпҳад иккиҳадга қолдиқсиз бўлинадими?
Ечиш. Берилган кўпҳадга ўрнига ни қуямиз. У ҳолда:
. .
Демак, берилган кўпҳад га қолдиқсиз бўлинади.

2–теорема. Агар бутун сон, бутун коэффициентли

(2)
тенгламанинг илдиз бўлса, сони га бўлинади.
Исбот. (2) тенгламанинг илдизи бўлса, у сон бу тенгламани қаноатлантириши керак, яъни . Бундан:
.
Бу тенгликни чап қисми га бўлингани учун ўнг қисми ҳам га бўлиниши керак.
3–мисол. тенгламани ечинг.
Ечиш. деб белгилайлик. Берилган тенглама бутун илдизга эга бўлса, у илдиз нинг бўлувчиси бўлиши, яъни сонлардан бири бўлиши керак. Шунинг учун бу сонларни галма–гал ифодага қуямиз.
Чунончи:
1) бўлса, . Демак, берилган тенгламанинг илдизи эмас.
2) бўлса, . Демак, берилган тенгламанинг илдизи. Бу ҳолда берилган кўпҳад га бўлиниши керак.

У ҳолда бўлади. Энди тенгламани ечиб, , илдизлари ҳам аниқлаймиз.
Жавоб: , , .
4–мисол. тенгламанинг илдизларидан бири га тенг, қолган илдизларини топинг.
Ечиш. Бу тенгламанинг иккинчи илдизи ( га қўшма комплекс сон) бўлиши керак. У ҳолда тенгламанинг чап қисмидаги кўпҳад га бўлинади. Бу кўпҳадни га бўлсак, бўлинма ҳосил бўлади.
.
бу тенгламанинг бутун илдизлари ёки га тенг бўлиши мумкин. кўпҳадга ни қуйсак, . Демак, . Бу кўпҳадни га бўлсак, бўлинма ҳосил бўлади. тенгламадан .
Жавоб: .

ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР