Kompleks sonlar Reja: Kompleks sonlar haqida dastlabki ta'riflar. Kompleks sonlar ustida asosiy amallar

Kompleks sonlar
Reja:
1. Kompleks sonlar haqida dastlabki ta'riflar.
2. Kompleks sonlar ustida asosiy amallar.
3. Kompleks sonni darajaga ko’tarish va kompleks sondan ildiz chiqarish.
4. Mustaqil yechish uchun misollar.
DARSNING MAQSADI
M1. Kompleks sonlarni Dekart koordinatalar sistemasida tasvirlashni o‘rganish
M2. Kompleks sonning turli ko‘rinishlari va ular orasidagi bog‘lanishlarni o‘rganish
M3. Kompleks sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish, ularni darajaga ko‘tarishni va ulardan ildiz chiqarishni o‘rganish.

Kompleks sonlar haqida tushuncha
Kompleks son deb a+bi ifodaga aytiladi, bu yerda a va b haqiqiy sonlar, i – mavhum birlik bo’lib, u yoki i^2= -1 tengliklar bilan aniqlanadi; a – kompleks sonning haqiqiy qismi, bi – mavhum qismi deyiladi. Faqat mavhum qismining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son: a+bi va a-bi o’zaro qo’shma deyiladi. Ko’pincha a+bi kompleks son bitta α harfi bilan belgilanadi: α=a+bi. a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi a=Reα bilan, mavhum qismining koeffitsientini b=Lmα bilan belgilaydilar. α kompleks sonning a+bi ko’rinishidagi yozuviga uning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks son dеb
z=a+bi (1)
ifodaga aytiladi, bu еrda a va b haqiqiy sonlar, i - mavhum birlik, ushbu tеngliklar bilan aniqlanadi:
i=√-1 yoki i²=-1 (2)
a- kompleks son z ning haqiqiy qismi, ib - mavhum qismi dеyiladi. Ular bunday bеlgilanadi: a=Re z, b=Imz. Agar a=0 bo’lsa, 0+ib=ib sof mavhum son dеyiladi; b=0 agar bo’lsa, haqiqiy son hosil bo’ladi: a+I*0=a. Faqat mavhum qismining ishorasi bilan farq qiladigan ikki kompleks son: z=a+ib va z=a-ib bir-biriga qo’shma dеyiladi.
Ma’lumki kvadrat tenglamalarni yechishda ba’zida ildiz ostida manfiy son hosil bo’lib qoladi, ya’ni kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy sondan iborat bo’ladi:
Bunda ildiz ostidan haqiqiy sonni chiqarish mumkin emas, u holda berilgan kvadrat tenglama ildizga ega emas. Shu vaqtgacha kvadrat ildiz chiqarish faqatgina musbat haqiqiy sonlar uchun aniqlanganligi o’qtirib kelingan. Manfiy haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish ma’noga ega emas, ya’ni manfiy haqiqiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy son bo’lmasligi mumkin.
Diskriminanti manfiy sondan iborat bo’lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sonlar tushunchasini kengaytirish lozim bo’ladi. Bunday holda haqiqiy sonlar to’plamiga kvadrati -1 ga teng bo’lgan yangi i sonini kiritish maqsadga muvoffiq bo’ladi. Bu sonni mavhum birlik deb atash kabo’l qilingan. U holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

i²=-1 i soni bi ko’rinishdagi ko’paytma va a+ ib yig’indini kiritish imkoniyatini beradi.

Ta’rif: a+bi ko’rinishdagi ifodaga kompleks son deyiladi. Bunda a va b ixtiyoriy haqiqiy sonlar, i- mavhum birlik.
a soni a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi, bi ko’paytma esa mavhum qismi deb ataladi, b soni mavhum qismning koeffisiyenti deyiladi.
Masalan, 5+2i kompleks son uchun 5 soni haqiqiy qism, 2i esa mavhum qism bo’ladi, uning koeffisiyenti 2 dan iborat; 0+7i sonning haqiqiy qismi 0, mavhum qismi 7i , mavhum qismning koeffisiyenti 7 dan iborat; 6-0i sonning haqiqiy qismi 6, mavhum qismi 0i, mavhum qismning koeffisiyenti 0 dan iboratdir.
Kompleks sonlar kiritilgach algebra, nazariy fizikaning gidrodinamika, elementar zarralar nazariyasi va hokazolardagi fikrlar hamda tushunchalar soddalashdi.
Ta’rif: Ikkita kompleks sonning haqiqiy qismlari teng va mavhum qismlarining koeffisiyentlari ham teng bo’lsa, bu sonlar o’zaro teng deyiladi, ya’ni a=s va v=d bo’lsa, quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
a+bi=s+di
Ikkita kompleks sonlar orasida «katta» yoki «kichik» munosabatlarni aniqlab bo’lmaydi.