Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar. Kompleks sonlar ketma-ketligi va qatorlar

1-Amaliy mashg’ulot. Kompleks tekislikda chiziqlar va sohalar. Kompleks sonlar ketma-ketligi va qatorlar.

Маълумки, комплекс сон

(1)
кўринишда ифодаланади, бунда ва лар ҳақиқий сонлар i эса
( ) мавҳум бирликдир.
Одатда ҳақиқий сонга комплекс соннинг ҳақиқий қисми, ҳақиқий сонга эса комплекс соннинг мавҳум қисми дейилади ва
,
каби белгиланади (Re- лотинча realis – «хакикий» деган маънони , Im – лотинча imaginarins – «мавхум» деган маънони англатувчи сузлардан олинган).
Агар (1) да бўлса, бўлиб, z ҳақиқий x сонга тенг бўлади. Агар (1) да x=0 булса , z=0+iy=iy булиб, z соф мавҳум сон бўлади. (1) да x=0 ,y=0 бўлса, z комплекс сон 0 га тенг бўлади.
Иккита ва комплекс сонлар берилган бўлиб, улар учун бўлса, ва комплекс сонлар бир бирига тенг дейилади. Агар бўлса, y ҳолда комплекс сон га қўшма комплекс сон дейилади ва каби белгиланади.
Демак, бўлса, бўлади. Масалан, комплекс соннинг қўшмаси бўлади.
Айтайлик, иккита ва комплекс сонлар берилган бўлсин. Улар устидаги арифметик амаллар қуйидаги қоидалар асосида аниқланади.

1. 
   
   

2) ₍₂₎
3)
4) .
Комплкс сонларни кушиш амали коммутативлик , ассоциативлик , хоссаларига эга.Купайтириш амали коммутативлик , ассоциативлик , дистрибутивлик хоссаларига эга.
Текисликда тугри бурчакли Oxy Декарт координатлар системасида Ох укда комплекс соннинг хакикий кисмини, Оу укда комплекс соннинг мавхум кисмини жойлаштириб,текисликда комплекс сон координатлари x ва y булган M(x,y) нуқтани ифодалашини курамиз.
Шу M(x,y) нуқта комплекс соннинг геометрик тасвири дейилади. Демак, шу тарика хар бир комплекс сон текисликда битта нуқтани ифодалайди. Аксинча, текисликдаги ҳар бир нуқта ҳақиқий қисми шу нуқтанинг абсциссасига, мавҳум қисми эса ординатасига тенг бўлган комплекс сонни ифодалайди.
Шундай қилиб, текисликнинг барча нуқталари тўплами билан барча комплекс сонлар тўплами орасида ўзаро бир қийматли мослик мавжуд. Бунда барча ҳақиқий сонларнинг геометрик тасвири абсциссалар ўқини, барча соф мавҳум сонларнинг геометрик тасвири ((0,0) нуктадан фарқли) эса ординаталар ўқини ифодалайди. Шунинг учун абсциссалар ўқини ҳақиқий ўқ, ординаталар ўқини эса мавҳум ўқ дейилади. Оxy текисликни эса комплекс текислик дейилади ва С ҳарфи билан белгиланади.
Координаталар боши ва М(х,у) нуктани туташтирувчи вектор М(x,y) нуқтанинг радиус вектори дейилиб, бу векторнинг узунлиги r га комплекс соннинг модули дейилади ва каби белгиланади. вектор билан Ox ҳақиқий ўқнинг мусбат йуналиши орасидаги бурчак комплекс соннинг аргументи дейилади ва каби белгиланади.
Агар комплекс сон берилган бўлса унинг модули ва аргументи қуйидаги тенгликлар ёрдамида ҳисобланади:
; (3)
(4)
эканлигини ҳосил қиламиз ва эканлигини эътиборга олсак
(5)
ифодага эга бўламиз. Бу ифода комплекс соннинг тригонометрик ифодаси дейилади. Бу ифодадаги
(6)
тенглик Эйлер формуласи дейилади. Буни эътиборга олсак (5) тенгликни
_{куринишда ифодалаш мумкин, бу эса}
комплекс соннинг кўрсаткичли кўриниши деб аталади.
1-Масала.. комплекс соннинг аргументи ва модулини топинг, триганометрик куринишда тасвирланг.
Ечилиши. Агар комплекс сон берилган бўлса унинг модули ва аргументи (3)-ва (4)- тенгликлар ёрдамида ҳисобланади:

2-Масала.Қуйидаги

комплекс сонларнинг йиғиндиси, айирмаси, кўпайтмаси, нисбати ҳамда ни топинг.
Агар иккита ва комплекс сонлар берилган бўлса, уларнинг йиғиндиси, айирмаси, кўпайтмаси ва нисбати (1) тенгликлар асосида аниқланади.
Ечилиши.

.


3-Масала.Амалларни бажаринг, ҳосил бўлган комплекс соннинг модули ва аргументини топинг, уни комплекс текисликда тасвирланг
.
Олдин сонларнинг модули ва аргументини (3) ва (4) формулалардан фойдаланиб топиб, сўнг уларни тригонометрик шаклда ёзамиз ва Муавр формуласидан фойдаланамиз:

Бу комплекс сон текисликда нуқтани ифодалай.

Мустакил ечиш учун мисоллар.

1.Қуйидаги z ва z комплекс сонларнинг йиғиндиси, айирмаси, кўпайтмаси, нисбати ҳамда ларнинг кийматини топинг:

2.Амалларни бажаринг, комплекс сонларнинг модули ва аргументини топиб, уларни комплекс текисликда тасвирланг.