Ko‘p kriteriyali masalada yechim qabul qilish nazariyasi

1-misol. Quyidagi ikki kriteriyali masala berilgan bo'lsin:
x\ + x2 < 1 0 0 > 0 , x2 > 0 (4.5)
shartlar ostida
Z\ — 2x\ 4- x2 —> max ^ 2 = 2 a;i + 3a:2 —>• max (4.6) topilsin.
(4.5)—(4.6)-masalada Pareto m a’nosida optimal joiz yechimlar to'plami aniqlansin.
Joiz soha D koordinata tekisligining birinchi choragida joylashgan markazi koordinata boshida, radiusi 10 ga teng bo'lgan doiraning qismidan iborat bo'ladi (4.1-rasm).
Z\ va z2 kriteriyalar bo‘yicha alohida optimal yechimlarni topamiz. Buning uchun, p i(2 ,1) va p2{2,3) yo‘nalishdagi vektorlarni hamda ularga perpendikulyar — sath chiziqlarini quramiz. Sath chiziqlarini aylana bilan urinish nuqtalari Av& B dan iborat bo‘lgan optimal yechimlarni aniqlaymiz.
D dagi biror C yechimni Pareto — optimal bo'lishligini tekshiramiz. C nuqta orqali maqsad funksiyalarning sath chiziqlarini o'tkazamiz va ular hosil qilgan yarim tekisliklar kesishmasidan iborat bo'lgan konusni qaraymiz (4.1-rasmda shtrixlangan).
Tushunarliki, C nuqtaga mos kelgan yechimni ikkala kriteriya bo!yicha ham yaxshilash mumkin, shu sababli u effektiv emas. Effektiv Dp (Pareto m a’nosida optimal) yechimlar aylananing A B yoyidan iborat. qilib, effektiv yechimlar har bir kriteriyani alohida masala deb yechilganda topilgan optimal yechimlar orasida yotadi. A nuqtaning koordinatalarini topaylik. Aylananing normal vektori Hi = (xi,x2) koordinatalarga ega bo'lsin, birinchi maqsad funksiyaning sath chizig'iga normal vektor p\ — (2 , 1 ) bo‘ladi. Vektorlarning kollinearlik shartidan kelib chiqadiki, mos koordinatalar proporsional ya’ni: ^ Demak, A nuqtaning [x\,x2) koordinatalari quyidagi sistemani qanoatlantiradi:
f Xi = 2x2 \ xj + x\ = 1 0 0 .
Ushbu sistemaning yechimi (4\/5, 2\/5) bo‘lib, u A nuqtaning koordinatalarini beradi. Xuddi shunga o‘xshash B nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz:
^7=
2-misol. 1-misolda keltirilgan masala uchun, erishishlik va Pareto to ‘plamlari aniqlansin.
Maqsad funksiya vektorlariga mos akslantirishning kriteriyalar fazosida Pareto to ‘plamini quramiz.
Buning uchun, joiz sohaning xarakterli nuqtalari aksini jadval ko'rinishda ifodalaymiz (4.1-jadval).
4.2-rasmda FP to ‘plam A B yoydan iborat. Ikki kriteriya uchun, bu to'plam erishishlik to'plamining "shimoliy-sharq” chegarasini tashkil qiladi.
Berilgan ikki kriteriya uchun, erishishlik to'plam i F C R2 va Dp ning aksi bo‘lgan Pareto to‘plami Fp C F 4.2-rasmda keltirilgan. Bu to'plam lar 4.1-jadval asosida hosil qilingan.
Shunday qilib, ko‘p kriteriyali optimizatsiya masalasining yechimini Pareto m a’nosida optimal bo'lgan Dv to'plam tashkil qiladi. Ammo yakuniy qaror qilish har vaqt yechim qabul qiluvchiga bog‘liq bo'lib qoladi.
4-1-jadval Dsohaning nuqtasi Xi X2 nuqtaning F dagi obrazi Zl 22 0 0 0 O' 0 0 M 0 10 M' 10 30 N 10 0 N' 20 20 A 4\/5ra 8,9 4v'5 « 8 ;9 A' 10\/5 rj 22,4 14\/5 ss .31,3 B 20 ~ r. c 7T3 ’ T n - 5-5 B' $ 5 * 1 9 ,4 i | ^ 3 6 , l 4 -2-rasm