Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o`lchovli tekis va normal taqsimotlar

Lyapunovtengsizligi. Ihtiyoriymusbat sonlaruchun

Bu tengsizlikni isbotlash uchun botiq funksiya va tasodifiy miqdorlarga Yensen tengsizligini qo‘llash kifoya.
Gyolder tengsizligi. r>1,s>1, sonlar va tasodifiy miqdorlar uchun munosabatlar o‘rinli bo‘lsin. U holda
(4)
Isboti. funksiya intervalda aniqlangan botiq funksiya bo‘lgani tufayli (*) tengsizlik o‘rinli: ya’ni ihtiyoriy va istalgan sonlar uchun

tengsizlik o‘rinli. Endi deb olsak, u holda

tengsizlikning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikda deb (biz deb faraz qilamiz, aks holda (4) tengsizlik trivial bajariladi), hosil bo‘lgan tengsizlikning har ikki tomonidan matematik kutilma olsak, biz Gyolder tengsizligiga kelamiz.

2. Korrelyatsiya koeffitsienti.
(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.
Ikki o‘lchovli diskret (X,Y) tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi (MX,MY) bo‘lib, bu yerda
(1)

va .

Agar (X,Y) tasodifiy miqdor uzluksiz bo‘lsa, u holda
. (2)
X va Y tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi
(3)
tenglik bilan aniqlanadi. Agar (X,Y) tasodifiy miqdor diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi
, (4)
agar uzluksiz bo‘lsa,
(5)
formulalar orqali hisoblanadi.
Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:
. (6)
Bu tenglik (3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:


KovariatsiyaorqaliXvaYtasodifiymiqdorlarningdispersiyalarinianiqlashmumkin:
,
.
(X,Y) vektorning kovariatsiya matritsasi

- ifoda bilan aiqlanadi.
Kovariatsiyaning xossalari:
1. ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar X va Y ixtiyoriy tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda ;
4. yoki ;
5. yoki
;
6. .
Isboti. 1. (3.7.3) dan kelib chiqadi.
2. Agar bo‘lsa, u holda va lar ham bog‘liqsiz bo‘ladi va matematik kutilmaning xossasiga ko‘ra .
3.
.
4. .
5.

6. 3-xossani va tasodifiy miqdorlarga qo‘llasak,


.
Dispersiya manfiy bo‘lmasligidan , ya’ni .
3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, X va Y tasodifiy miqdorlar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda X va Y tasodifiy miqdorlar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va Y tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelatsiya koeffitsienti
(7)
formula bilan aniqlanadi.
Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. , ya’ni ;
2. Agar bo‘lsa, u holda ;
3. Agar bo‘lsa, u holda X va Y tasodifiy miqdorlar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz tasodifiy miqdorlar uchun , chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.
Nazorat uchun savollar

1. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi.

2. Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.

3. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari.

4. Tasоdifiy miqdоrlarning bоg‘liqsizligi.
5. Shartli taqsimоt qоnunlari.

6. Bir argumentning funksiyalari.

7. Ikki argumentning funksiyalari.

8. Yuqori tartibli mоmеntlаr va ular uchun tengsizliklar.
9. Korrelyatsiya koeffitsienti.