Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar. Ikki o`lchovli tekis va normal taqsimotlar

1. Bir argumentning funksiyalari.

Agar Xtasodifiy miqdorning har bir qiymatiga biror qoida bo‘yicha mos ravishda Ytasodifiy miqdorning bitta qiymati mos qo‘yilsa, u holda Y ni X tasodifiy argumentning funksiyasi deyiladi va kabi yoziladi.

X diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ehtimolliklar bilan qabul qilsin: . Ravshanki, tasodifiy miqdor ham diskret tasodifiy miqdor bo‘ladi va uning qabul qiladigan qiymatlari , ,…, , mos ehtimolliklari esa bo‘ladi. Demak, . Shuni ta’kidlash lozimki, X tasodifiy miqdorning har xil qiymatlariga mos Y tasodifiy miqdorning bir xil qiymatlari mos kelishi mumkin. Bunday hollarda qaytarilayotgan qiymatlarning ehtimolliklarini qo‘shish kerak bo‘ladi.
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasi quyidagi tengliklar orqali aniqlanadi:
.
1-misol. X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot jadvali berilgan:

X	-1	1	2
p	0.1	0.2	0.6

Agar: 1) ; 2) bo‘lsa, MY ni hisoblang.
1) Ytasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari: , ya’ni uning qabul qiladigan qiymatlai 1 va 4. Ytasodifiy miqdorXtasodifiy miqdorning -1 va 1 qiymatlarida 1 qiymat qabul qilganligi uchun
, . Demak, va .
2) Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega: . .
Zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan X uzluksiz tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsin. Ytasodifiy miqdor esa Xtasodifiy miqdorning funksiyasi . Ytasodifiy miqdorning taqsimotini topamiz. funksiya Xtasodifiy miqdorning barcha qiymatlarida uzluksiz, (a,b) intervalda qat’iy o‘suvchi va differensiallanuvchi bo‘lsin, u holda funksiyaga teskari funksiya mavjud. Y tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formula orqali aniqlanadi. hodisa hodisaga ekvivalent (30-rasm).


1-rasm.

Yuqoridagilarni e’tiborga olsak,

. (1)

(1) ni y bo‘yicha differensiallaymiz va Ytasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topamiz: .

Demak,
. (2)

Agar funksiya (a,b) intervalda qat’iy kamayuvchi bo‘lsa, u holda hodisa hodisaga ekvivalent. Shuning uchun,

.
Bu yerdan,
(3)

Zichlik funksiya manfiy bo‘lmasligini hisobga olib, (2) va (3) formulalarni umumlashtirish mumkin:

. (4)

Agar funksiya (a,b) intervalda monoton bo‘lmasa, u holda ni topish uchun (a,b) intervalni n ta monotonlik bo‘lakchalarga ajratish, har biri bo‘yicha teskari funksiyasi ni topish va quyidagi formuladan foydalanish kerak:

. (5)

Agar X zichlik funksiyasi f(x) bo‘lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblash uchun Y tasodifiy miqdorning taqsimotini qo‘llash shart emas:

(6)
.

1. Ikki argumentning funksiyalari.