Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi. Funksiyaning xususiy hosilalari Funksiyaning diffrensiali. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari

Differensial tenglamalarga olib keluvchi masalalar

Matematika, fizika, kimyo va boshqa fanlarning turli masalalari erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini bog’lovchi tenglamalar ko’rinishidagi matematik modellarga keltiriladi. Shu kabi masalalarning ayrimlarini qarab chiqamiz.

1-masala. Massasi ga teng moddiy nuqta tezlikning kvadratiga proporsional bo’lgan muhit qarshilik kuchi ta’sirida harakatini sekinlatmoqda. Nuqta harakat qonunining tenglamasini tuzing.

Erkli o’zgaruvchi sifatida moddiy nuqtaning sekinlashish boshlanishidan hisoblanuvchi vaqtni olamiz. U holda nuqtaning tezligi vaqtning funksiyasi bo’ladi, ya’ni .

Moddiy nuqtaning harakat qonunini topish uchun Nuytonning ikkinchi qonunidan foydalanamiz: bu yerda harakatlanuvchi jism tezlanishi, jismga harakat jarayonida ta’sir qiluvchi kuchlar yig’indisi.

Bu masalada bu yerda proporsionallik koeffitsiyenti (minus ishora harakatning sikinlashishini bildiradi).

Shunday qilib, moddiy nuqtaning harakat qonuni

tenglama bilan aniqlanadi.

2-masala. Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinma, bu nuqtadan o’qqa parallel o’tgan to’g’ri chiziq va koordinata o’qlari bilan chegaralangan trapetsiyaning yuzi ga teng. nuqta harakat qonuni tenglamasini tuzing.

noma’lum (izlanayotgan) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. U holda trapetsiyaning yuzi tenglik bilan ifodalanadi, bu yerda (1-rasm).

Birinchi tartibli hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra

Demak, nuqta harakati yoki

tenglama bilan aniqlanadi.

Asosiy tushunchalar

Erkli o’zgaruvchi, no’malum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog’lovchi tenglamaga differensial tenglama deyiladi.

No’malum funksiyasi bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan differensial tenglama oddiy differensial tenglama deb ataladi.

No’malum funksiyasi ikkita va undan ortiq o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi.

Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibi differensial tenglamaning tartibi deyiladi.

Masalan. tenglama ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama, tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo’ladi.

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko’rinishda

(1)

kabi yoziladi, bu yerda erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya, noma’lum funksiyaning hosilasi, ikki o’lchamli sohada ikki o’zgaruvchili funksiya.

Xususan, (1) tenglamada va oshkor ishtirok etmasligi mumkin.

Agar (1) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa u

(2)

ko’rinishda ifodalanadi, bu erda berilgan funksiya.

Bu tenglamadan differensiallar ishtirok etuvchi simmetrik rasm deb ataluvchi

tenglamaga o’tish mumkin.

(1) differensial tenglamaning yechimi (integrali) deb, tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi.

Masalan. tenglamaning yechimi (bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas) funksiya bo’ladi. Haqiqatdan ham, ning bu qiymatini tenglamaga

qo’ysak, ayniyatga ega bo’lamiz:

.

Demak, (1) differensial tenglamani bitta funksiya emas, balki funksiyalarning butun bir to’plami qanoatlantirishi mumkin. Bu funksiyalardan birini boshlang’ich shart deb ataluvchi ( bo’lganda bo’ladi) shart orqali ajratish mumkin.

(2) differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi (bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyaga aytiladi:

a) ixtiyoriy o’zgarmasning istalgan qiymatida (2) differensial tenglamani qanoatlantiradi;

b) boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham ixtiyoriy o’zgarmasning shunday qiymatini topish mumkinki, yechim boshlang’ich shartni qanoatlantiradi, ya’ni bo’ladi.

(2) differensial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning tayin qiymatida hosil bo’ladigan har qanday yechimga xususiy yechim deyiladi.

Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deb ataladi.

Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deyiladi.

Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlaydigan bo’g’lanishga umumiy integral deyiladi.

Umumiy integraldan ixtiyoriy o’zgarmasning biror mumkin bo’lgan qiymatida hosil bo’ladigan yechimga xususiy integral deb ataladi.

Umumiy yechim (umumiy integral) geometrik jihatdan bitta parametrga bog’liq egri chiziqlar oilasi ko’rinishida tasvirlanadi. Xususiy yechim (xususiy integral) bu oilaning integral chiziqlaridan biridan iborat bo’ladi.

(2) tenglamada va o’zgaruvchilarni tekislikdagi nuqtaning dekart koordinatalari sifatida qaraymiz. Bunda (1.2) tenglamaga va larni qo’ysak, ayniyat hosil bo’ladi. funksiya grafigining, ya’ni integral egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasida urinma o’tkazamiz. Hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra bu yerda urinmaning o’qqa og’ish burchagi.

Demak, (2) differensial tenglama integral egri chiziqning har bir nuqtasida bu egri chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’nalishini aniqlaydi.

Tekislikning har bir nuqtasiga tenglik bajariladigan qilib kesma qo’yilgan qismi differensial tenglamaning yo’nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, (2) differensial tenglamaga uning yo’nalishlar maydoni mos keladi. Bu jumla (2) differensial tenglamaning geometrik ma’nosini bildiradi.

Shunindek, (2) differensial tenglamani yechish masalasining geometrik talqini quyidagicha ifodalanishi mumkin: integral egri chiziq shunday o’tkazilsinki, uning har bir nuqtasidagi urinmaning yo’nalishi yo’nalishlar maydonining shu nuqtadagi kesmasi yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin.

Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy o’zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin bo’lmagan yechimga maxsus yechim deyiladi.
Nazorat savollari

1. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyani ta’rifini ayting.
   
2. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyani limiti qanday hisoblanadi?
   
3. 
   Xususiy hosila nima?
   
4. 
   To’liq differentsial nimani ifodaaydi?
   
5. 
   Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar qanday hisoblanadi?
   
6. 
   Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari qanday topiladi?
   
7. 
   Differentsial tenglama nima?
   
8. 
   Differentsial tenglamani yechimi nima?
   
9. 
   Koshi masalasini ayting?