Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Ma’ruza Reja

4⁰ Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.
5-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday son topilsaki,

tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy uchun

tengsizlik bajarilsa, funksiya to‘plamda tekis uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya to‘plamda tekis uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, yuqoridagi ta’rifda nuqta sifatida olinsa, funksiyaning nuqtada uzluksiz-ligi, binobarin to‘plamda uzluksizligi kelib chiqadi.
funksiyaning to‘plamda tekis uzluksiz emasligi quyidagicha:
:
bo‘ladi.
6-teorema. (Kantor). Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu to‘plamda tekis uzluksiz bo‘ladi.
Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lib, u shu to‘plamda tekis uzluksiz bo‘lmasin. Unda biror son va uchun to‘plamda

tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday

nuqtalar topiladiki,

bo‘ladi. Ravshanki,

ketma-ketlik chegaralangan. Undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin:
da va
Masofa xossasidan foydalanib topamiz:

Keyingi munosabatdan, da limitga o‘tish bilan

bo‘lishini topamiz. funksiya to‘plamda, jumladan nuqtada uzluksiz. Unda da

bo‘lib, undan

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

deb qilingan farazga ziddir. Demak, funksiya to‘plamda tekis uzluksiz.
Aytaylik, fazoda biror to‘plam berilgan bo‘lsin: . Ushbu

miqdor to‘plamning diametri deyiladi.